Материальная точка движется прямолинейно по закону… (алгебра)

№ Физический смысл производной

⚠️

Задание (график функции с касательной) не решено: клетки на рисунке слишком мелкие, координаты точек касательной не различить. Перефотографируйте его ближе и крупнее, по – задания на фото. В задании край текста обрезан, скорость принята равной м/с. Задания и решены по графику, значения сняты приблизительно.

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x (t) = \frac{1}{3} t^{3} + t^{2} - 9 t + 12$ , где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 15 м/с?

Решение

Скорость — производная координаты по времени:

Приравниваем к :

Время не может быть отрицательным, поэтому .

💡 Почему так

Скорость при прямолинейном движении равна производной координаты по времени.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Касательная к графику

Прямая $y = - 2 x + 6$ является касательной к графику функции $y = x^{3} - 3 x^{2} + x + 5$ . Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания:

Проверка: , а на прямой . Значения совпадают.

💡 Почему так

Касательная имеет угловой коэффициент , и точка касания лежит и на графике, и на прямой.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Экстремумы по графику производной

На рисунке изображён график $y = f^{'} (x)$ — производной функции $f (x)$ , определённой на интервале $(- 5; 7)$ . В какой точке отрезка $[2; 6]$ функция $f (x)$ принимает наименьшее значение?

Решение

На отрезке по графику при , поэтому убывает. В точке производная меняет знак с «−» на «+», поэтому переходит от убывания к возрастанию. При имеем , функция возрастает. Значит, наименьшее значение на отрезке достигается в точке .

💡 Почему так

Если производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума функции.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Промежутки возрастания по графику производной

На рисунке изображён график $y = f^{'} (x)$ — производной функции $f (x)$ , определённой на интервале $(- 6; 10)$ . Найдите промежутки возрастания функции $f (x)$ . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение

Функция возрастает там, где , то есть где график производной лежит выше оси . По графику это промежутки:

Целые точки: ; и ; .

💡 Почему так

Функция возрастает на промежутках, где её производная положительна.

Ответ

✓ dzmen.ru

Промежутки возрастания: , , . Сумма целых точек: .

Помогло?

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/3t³+t²-9t+12, где x …