Маша нарисовала треугольник DEF и провела в нём медиану EM. В каждом…

Общее наблюдение. Так как и у треугольников и общая высота из , их площади равны. Обозначим площадь каждого через .

Четыре треугольника разбиваются на классы равных. Возможные числа пар: (все разные), (классы ++), (классы +), (классы +), (все четыре равны). Значения и невозможны.

Пример на пар. Берём произвольный треугольник и произвольные биссектрисы. Все четыре треугольника получаются разными.

Пример на пару. Пусть . Биссектриса в является и медианой, поэтому делит его на два равных треугольника. Возьмём и в проведём биссектрису из . Она не медиана, поэтому площади её частей различны и не равны . Других равных пар нет, всего пара.

Пример на пары. Пусть . Тогда по трём сторонам. Проведём симметричные биссектрисы. Получим две пары равных треугольников, а внутри треугольника части различны. Всего пары.

пары невозможны. Три равных треугольника обязательно включают оба треугольника, полученных из (или из ), и ещё один из другой половины. Равные площади частей, равные , означают, что биссектриса является медианой. Тогда треугольник равнобедренный и обе его части равны. Значит, равны все четыре треугольника, а это уже пар.

Пример на пар. Пусть и (чертёж выше). Биссектрисы и из вершины делят равнобедренные прямоугольные треугольники и пополам, и все четыре части равны. Пар получается .