Рассматривается неравнобедренный треугольник, две… (геометрия)

№ Неравенство треугольника

⚠️

В задании список в выпадающем поле «Выбрать» на фото не виден. Я предположил слово «ровно» (по смыслу и потому что делится на ). Если в списке есть другие варианты, проверьте, что выбрано именно «ровно». Остальное решено полностью.

Рассматривается неравнобедренный треугольник, две стороны которого равны 232 и 411. Сколько существует возможных целых значений длины третьей стороны?

Решение

Пусть третья сторона равна . По неравенству треугольника:

Целые значения от до . Их количество:

Треугольник неравнобедренный, поэтому и . Эти два значения лежат в промежутке, их надо исключить:

💡 Почему так

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других и больше их разности. Равнобедренными были бы случаи и .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Рыцари и лжецы (витязи и купцы)

Заполните пропуски в тексте древней летописи.
Во граде великом славный люд живёт: каждый из них — либо витязь, либо купец, но не стоять граду без хотя бы одного витязя-заступника. Речи витязей всегда правдивы, а купцы товар сбывают, посему всегда лгут. И выстроились в круг все жители того достойного града, общим числом 714, и каждый из них молвил: «Среди моих двух соседей есть [Выбрать] один витязь». Поглядел-послушал это калика перехожий, да тут же определил, что витязей во граде [ ].

Решение

Выбираем в первом пропуске «ровно»: «среди двух соседей ровно один витязь». Витязь (В) говорит правду, купец (К) лжёт.

У витязя ровно один сосед-витязь. Значит, витязи стоят группами ровно по двое подряд: ВВ.
У купца число соседей-витязей не равно одному, то есть их или .
Рядом с группой ВВ стоит купец. Один его сосед уже витязь, значит, второй сосед тоже витязь. Поэтому купец стоит между двумя группами ВВ, а рядом с ним нет других купцов.
Витязь во граде есть, поэтому купцов с соседей-витязей нет: такой купец стоял бы рядом с другим купцом, а это невозможно.
Остаётся только круг вида ВВК ВВК ВВК …

Число жителей делится на : троек. В каждой тройке витязя:

💡 Почему так

Правдивый витязь описывает соседей верно, лживый купец — неверно, отсюда условия на соседей. Они однозначно задают чередование ВВК.

Ответ

✓ dzmen.ru

в первом пропуске — «ровно»; во втором —

№ Биссектрисы и равные треугольники

Маша нарисовала треугольник $P QR$ и провела в нём биссектрису $P M$ . В каждом из треугольников $QP M$ и $R P M$ она провела ещё по одной биссектрисе, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Решение

Пример для пар: , , — середина .

Возможные числа пар для четырёх треугольников: , , , , . Проверим каждое.

Когда два треугольника из одного большого равны. Биссектриса делит треугольник на два равных, только если он равнобедренный и биссектриса проведена из вершины при основании равных сторон (из «верхней» вершины). Тогда половинки — равные прямоугольные треугольники.

пар. Пусть , . Тогда и . Треугольники и — равные прямоугольные равнобедренные. Биссектрисы из делят каждый на два равных треугольника, все четыре равны: .

пар. Берём произвольный треугольник общего вида. Все четыре треугольника попарно не равны.

пара. Пусть равнобедренный и разделён биссектрисой из вершины при равных сторонах. Остальные углы и треугольники выбираем общими. Равна только одна пара.

пары. Пусть , , . Тогда , , .

имеет углы , равнобедренный при . Биссектриса даёт два прямоугольных треугольника с углами .
имеет углы , равнобедренный с вершиной . Биссектриса из даёт два прямоугольных треугольника с углами .

Получаем две пары равных треугольников, и между собой эти пары не равны.

пары невозможны. Три равных треугольника из четырёх обязательно включают двух из одного большого. Значит, этот большой треугольник равнобедренный, а все три равные — прямоугольные. Переберём возможные равнобедренные (вершина при равных сторонах — или ). Тогда в ни одна биссектриса не даёт треугольника, равного этим половинкам, кроме случая, когда равны все четыре. Для , как раз получаются пар. Остальные случаи дают только , или пары.

💡 Почему так

Биссектриса делит треугольник на два равных только в равнобедренном треугольнике, проведённая из вершины при равных сторонах. Это сильно ограничивает число случаев равенства.

Ответ

✓ dzmen.ru

; ; ;

Помогло?

Рассматривается неравнобедренный треугольник, две стороны которого равны 232 и…