Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания… (математика)

№ Вычёркивание цифр, наибольшее число

Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 819, 427, 653?

Решение

В числах , , всего разных цифр: , , , , , , , , . Значит, девятизначное число состоит ровно из этих цифр, и в нём:

стоит левее , а левее ;
левее , а левее ;
левее , а левее .

Чтобы число было наибольшим, на каждое место ставим наибольшую из доступных цифр. Доступны первые невыбранные цифры каждой тройки.

Начала троек: , , . Берём .
Начала: , , . Берём .
Начала: , , . Берём .
Начала: , , . Берём .
Начала: , , . Берём .
Начала: , . Берём .
Начала: , . Берём .
Остаётся , затем .

Получаем .

💡 Почему так

Все цифры различны, поэтому число — перестановка этих цифр с сохранением порядка внутри каждой тройки. Наибольшее число получается, если на каждом шаге брать наибольшую доступную цифру.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Числа, обратные натуральным

Числа $a$ и $b$ обратны натуральным (то есть имеют вид $\frac{1}{N}$ ). Известно, что $a = \frac{b}{9 b - 1}$ . Какое максимальное значение может принять $\frac{1}{ab}$ ?

Решение

Пусть , , где — натуральные числа.

Значит, . Так как , то , то есть .

Это парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение при целых достигается при или : .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Рыцари и лжецы

На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 42 островитянина. Их рассадили за три стола, по четырнадцать человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди тринадцати твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.

Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.

Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.

Решение

Пусть за столом лжецов из .

Рыцарь видит лжецов и рыцарей. Он говорит «больше рыцарей» при и «больше лжецов» при .

Лжец видит лжецов и рыцарей. Правда для него — «больше рыцарей» при , поэтому лжец говорит «больше лжецов» при и «больше рыцарей» при .

Первый стол (все: «больше рыцарей»). Рыцари так говорят при , лжецы — при . Оба типа сразу быть не могут, поэтому (одни рыцари) или (одни лжецы).

Второй стол (все: «больше лжецов»). Рыцари так говорят при , лжецы — при . Если есть оба типа, то . При рыцари сказали бы «больше рыцарей», при лжецы сказали бы «больше рыцарей». Значит, .

Третий стол (оба ответа).

При и ответ один, не подходит.
При все говорят «больше лжецов», не подходит.
При рыцари говорят «рыцарей», лжецы «лжецов», оба ответа есть.
При рыцари говорят «лжецов», лжецы «рыцарей», оба ответа есть.

Значит, .

Минимум: .

Максимум: .

Ответ

✓ dzmen.ru

Минимальное число лжецов:
Максимальное число лжецов:

№ Функциональное уравнение

Про функцию $f$ известно, что для всех действительных $x$ $3 f (x + 2) + f (7) = x + 11$ . Чему равно $f (4)$ ?

Решение

Подставим :

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Степени многочленов

Числа ${a, b, c, d, e}$ — это переставленная пятёрка чисел ${2, 5, 6, 7, 8}$ . Многочлен степени $a$ разделили без остатка на многочлен степени $b$ , затем возвели в степень $c$ , умножили на многочлен степени $d$ , и прибавили многочлен степени $e$ . Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?

Наименьшая степень:

Наибольшая степень:

Решение

Частное имеет степень , причём , так как числа различны. После возведения в степень степень равна , после умножения — . Итоговая степень:

Наибольшая. Берём (разность ), :

Другие варианты не больше: например, даёт ; даёт . Максимум .

Наименьшая. Нужно как можно меньше.

Разность : пары , , .
- , остаются : даёт , .
- , остаются : минимум , но , итог .
- , остаются : минимум .
Разность и больше: , а (при ), получаем не меньше .

Меньше получить нельзя: при разности сумма минимум . Пример для : , степень .

Ответ

✓ dzmen.ru

Наименьшая степень:
Наибольшая степень:

Помогло?

Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные…