Муравейник представляет собой квадрат, каждая… (математика)

№ Муравейник и комнаты

Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1401 муравей: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата $3 \times 3$ . Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.

Решение

Пусть королев , обычных муравьёв .

Число комнат:

Значит, при делении на даёт остаток (так как ). Чётное не подходит: делится на , а число нечётное. Значит, нечётное.

Так как , то . Поскольку , подходит . Из нечётных берём .

Проверка: королев занимают комнат, обычных муравьёв занимают комнат, итого . Квадраты можно уложить без зазоров, например так: заполнить квадратов в полосе шириной , остальное занять обычными муравьями.

💡 Почему так

Королева занимает комнат, а считается одним муравьём, поэтому комнат на больше, чем муравьёв, за каждую королеву.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Ходы с цифрами

На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 7, 3, 3, 7 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?

Решение

Пусть — итоговое изменение (увеличения минус уменьшения) для пар цифр (–), (–), (–).

Первая цифра меняется с на : .
Вторая с на : , откуда .
Четвёртая с на : .
Проверка третьей: , и . Верно.

Ходов не меньше, чем .

Пример на ходов:

увеличить цифры и : ;
раза уменьшить цифры и : ;
раза уменьшить цифры и : .

Всего ходов.

💡 Почему так

Каждый ход меняет только одну пару соседних цифр, поэтому число ходов для каждой пары не меньше модуля её итогового изменения.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Рыцари и лжецы на заседании

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 160 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 80 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 80 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Решение

Второй вопрос. Среди оставшихся есть рыцарь Артур, он называет правильное число рыцарей. Все назвали одно и то же число, значит, лжец не может быть среди оставшихся (он назвал бы другое число). Все оставшихся — рыцари.

Значит, первоначально рыцарей .

Первый вопрос. Все рыцари назвали число (одно число). Лжецы называли числа, не равные . Всего названо различных чисел, значит, лжецы назвали различных чисел. Лжецов , и их не меньше :

Итак, .

Примеры.

: лжецов уходят, остаются рыцарей. Рыцари называют , лжецы называют различных чисел, не равных . Всего чисел.
: лжецов , они называют разных чисел, не равных ; рыцари называют . Уходят лжецов и рыцарь, остаются рыцарей.

💡 Почему так

Если на заседании остались и рыцарь, и лжец, они назвали бы разные числа, поэтому остались только рыцари.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Кубики с двумя красными гранями

У Вани есть деревянный брусок размером $18 \times 18 \times 10$ . Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики $1 \times 1 \times 1$ . У скольких из них ровно две грани красного цвета?

Решение

Ровно две красные грани у кубиков, лежащих на рёбрах бруска, но не в углах.

У бруска рёбер длиной (по сверху и снизу) и ребра длиной .

На ребре длиной без угловых кубиков: кубиков.
На ребре длиной : кубиков.

💡 Почему так

Угловые кубики имеют три красные грани, кубики на рёбрах (не в углах) — две, остальные поверхностные — одну.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является…