Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех…

Геометрия10 классРешено по фото 15 октября 2026 в 04:38

Середины рёбер треугольной пирамиды, площади граней

Дана треугольная пирамида $A B C D$ . Середину ребра $A B$ соединили с серединами всех других рёбер, кроме $C D$ , и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 25. Найдите квадрат длины ребра $C D$ , если известно, что произведение площадей треугольников $C A D$ и $C B D$ равно 100, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без $A B$ и $C D$ равна 208.

Решение

Пусть — середина . Четыре отрезка идут от к серединам , , , . Каждый из них — средняя линия соответствующего треугольника:

в треугольнике : отрезки к серединам и равны и ;
в треугольнике : отрезки к серединам и равны и .

Произведение длин:

Площади треугольников и :

Их произведение:

Подставляем :

Каждый синус не больше , значит оба равны : .

По теореме Пифагора:

Складываем:

💡 Почему так

Отрезок от середины стороны к середине другой стороны треугольника — средняя линия, равная половине третьей стороны. Произведение синусов равно только если оба синуса равны , то есть углы прямые.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Есть ещё задание?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото

Решить своё по фото