Найдите площадь сечения единичного куба A…D1 плоскостью, проходящей через середины рёбер AA1, BB1, A1D1.
Пусть
, поэтому плоскость сечения параллельна и пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной . Через проходит , где — середина . - Сечение — четырёхугольник
. У него и , значит, это параллелограмм. - Ребро
перпендикулярно грани , поэтому . Параллелограмм — прямоугольник. - Из прямоугольного треугольника
с катетами и :
- Площадь сечения:
Плоскость, содержащая отрезок, параллельный ребру, пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Поэтому сечение — прямоугольник.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите площадь сечения, проходящего через середины рёбер AC, BC, A1C1.
Пусть
— средняя линия треугольника , поэтому и . - Плоскость сечения содержит
, значит, она пересекает верхнюю грань по прямой . Здесь — середина , и . , , и перпендикулярен основанию. — параллелограмм, так как и . Так как основанию, то , и параллелограмм является прямоугольником со сторонами и . - Площадь сечения:
Боковое ребро правильной призмы перпендикулярно основанию, поэтому сечение, параллельное боковому ребру, является прямоугольником.
В единичном тетраэдре MABC найдите площадь сечения, вершинами которого являются середины рёбер AB, BC и BM.
Пусть
- Тетраэдр единичный, то есть правильный, и все его рёбра равны
. — средняя линия треугольника , поэтому . — средняя линия треугольника , поэтому . — средняя линия треугольника , поэтому . - Сечение
— равносторонний треугольник со стороной :
Все грани правильного тетраэдра — равносторонние треугольники со стороной
