Укажите все верные утверждения. а) Через любые… (геометрия)

№ Аксиомы стереометрии

Укажите все верные утверждения.
а) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, притом только одна.
б) Если две вершины треугольника лежат в плоскости, то и весь треугольник лежит в этой плоскости.
в) Если две прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость.
г) Если три прямые попарно пересекаются, то они обязательно лежат в одной плоскости.
д) Через любую прямую можно провести бесконечно много плоскостей.

Решение

а) Верно, это аксиома стереометрии.
б) Неверно. В плоскости лежит только сторона, соединяющая эти две вершины (две её точки в плоскости, значит, и вся прямая). Третья вершина может лежать вне плоскости.
в) Верно. Две прямые с общей точкой либо совпадают, либо пересекаются, и в обоих случаях через них проходит плоскость.
г) Неверно. Три прямые могут пересекаться в одной точке и не лежать в одной плоскости, например три ребра куба, выходящие из одной вершины.
д) Верно. Через прямую и любую точку вне неё проходит плоскость, а таких точек бесконечно много, и получаются разные плоскости (пучок плоскостей).

Ответ

✓ dzmen.ru

а, в, д

№ Площадь поверхности многогранников

Фигура составлена из четырёх правильных тетраэдров с ребром 4 см; соседние тетраэдры приложены друг к другу целыми гранями (места склейки на рисунке закрашены). Найдите площадь поверхности фигуры.

Решение

Считаем, что тетраэдры склеены тремя парами (цепочкой), как на рисунке.
У четырёх тетраэдров всего граней.
Каждая склейка скрывает грани, склеек три, поэтому скрыто граней.
На поверхности остаётся граней.
Площадь одной грани (правильного треугольника со стороной ):

Площадь поверхности:

Ответ

✓ dzmen.ru

см²

№ Запись и рисунок по условию

Запишите символически и сделайте рисунок по условию: «Точка $M$ не лежит в плоскости $α$ . Прямые $M A$ , $M B$ и $M C$ пересекают плоскость $α$ в точках $A$ , $B$ и $C$ соответственно, причём точка $C$ не лежит на прямой $A B$ ».

Решение

Символическая запись:

Рисунок: плоскость

изображена параллелограммом. В ней отмечены точки

, не лежащие на одной прямой. Точка

расположена вне плоскости, и от неё проведены отрезки

Ответ

✓ dzmen.ru

, , , , . Рисунок выполнен выше.

№ Сечение призмы

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ сторона основания и боковое ребро равны 4. Постройте сечение призмы плоскостью $(A_{1} B_{1} C)$ . Найдите периметр и площадь сечения. (Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.)

Решение

Построение: точки , и принадлежат плоскости сечения. Точки , лежат в грани , а лежит в основании . Соединяем в верхнем основании, в грани и в грани . Сечение — треугольник .

Стороны сечения:
как сторона основания.
— диагональ квадрата со стороной :

Так же

. Треугольник равнобедренный.

Периметр:

Высота к основанию

Площадь:

Ответ

✓ dzmen.ru

Сечение — равнобедренный треугольник . Периметр , площадь .

№ Сечение куба

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ точки $E$ и $F$ — середины рёбер $A B$ и $B C$ , точка $K$ — середина ребра $D D_{1}$ . Постройте сечение куба плоскостью $(E F K)$ и запишите план построения. Найдите, в каком отношении плоскость сечения делит ребро $A A_{1}$ , считая от точки $A$ .

Решение

План построения:

Проводим в плоскости основания и находим точки пересечения прямой с прямыми и : , .
Точки и лежат в грани . Проводим и получаем .
Точки и лежат в грани . Проводим и получаем .
Соединяем с (грань ) и с (грань ).
Сечение — пятиугольник .

Вычисление. Пусть ребро куба равно , — начало координат, оси идут по , , .
, , .
Плоскость ищем в виде .
Точки и дают .
Точка даёт , откуда .
Уравнение плоскости:

Точка

на

имеет

, поэтому

.
Значит,

Ответ

✓ dzmen.ru

Сечение — пятиугольник , где , , а , — точки пересечения с прямыми и . Плоскость делит в отношении .

Помогло?

Укажите все верные утверждения. а) Через любые три точки, не лежащие на…