Вариант А1: Четыре прямые попарно пересекаются… (геометрия)

С-, Взаимное расположение прямых и плоскостей

⚠️

Не решено задание из С- на странице : верхняя часть условия обрезана, видны только фрагменты пунктов а), б), в). Решены задания и из С- и задания , , из С-. Во всех заданиях сделаны оба варианта (А слева, А справа). Чтобы решить задание , переснимите верх страницы ближе и крупнее.

Вариант А1: Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.
Вариант А2: Три различные плоскости имеют общую точку. Верно ли, что данные плоскости имеют общую прямую? Ответ объясните.

Решение

А. Пусть прямые a, b, c, d. Тройка a, b, c лежит в плоскости α. Тройка a, b, d лежит в некоторой плоскости β. Прямые a и b пересекаются, поэтому плоскость, содержащая обе, единственна, то есть β = α. Значит, d лежит в α, и все четыре прямые лежат в одной плоскости.

А. Возьмём три грани куба, сходящиеся в одной вершине. У них есть общая точка (вершина). Но любые две грани пересекаются по ребру, а третья грань пересекает это ребро только в вершине. Общей прямой у трёх граней нет.

💡 Почему так

Две пересекающиеся прямые задают единственную плоскость. Три плоскости с общей точкой могут иметь только эту одну общую точку.

Ответ

А — верно.
А — неверно.

С-, Точки на одной прямой

Вариант А1: Вершина C плоского четырёхугольника ABCD лежит в плоскости α, а точки A, B и D не лежат в этой плоскости. Прямые AB и AD пересекают плоскость α в точках B₁ и D₁ соответственно. Каково взаимное расположение точек C, B₁ и D₁? Ответ объясните.
Вариант А2: Точка D не лежит в плоскости α. Прямые a и b проходят через точку D и пересекают плоскость α в точках A и B соответственно. Прямая l не проходит через точку D, пересекается с a и b и пересекает плоскость α в точке L. Каково взаимное расположение точек A, B и L? Ответ объясните.

Решение

А. Точки B₁ и D₁ лежат на прямых AB и AD, значит, они лежат в плоскости четырёхугольника ABCD. Точка C тоже лежит в этой плоскости. Все три точки B₁, D₁, C лежат ещё и в плоскости α. Плоскость ABCD не совпадает с α, так как A ∉ α. Две различные плоскости пересекаются по прямой, поэтому B₁, C и D₁ лежат на одной прямой.

А. Прямая l пересекает a и b и не проходит через D, значит, l лежит в плоскости ABD. Точка L принадлежит l, поэтому L лежит в плоскости ABD и в плоскости α. Эти плоскости различны, так как D ∉ α. Их общая прямая — AB, потому что A и B лежат в обеих плоскостях. Следовательно, L лежит на прямой AB.

💡 Почему так

Если точки лежат одновременно в двух различных плоскостях, они лежат на их линии пересечения.

Ответ

А: точки C, B₁, D₁ лежат на одной прямой.
А: точки A, B, L лежат на одной прямой.

С-, Построение точек и линий пересечения на кубе

По данным рисунку (куб ABCDA₁B₁C₁D₁, точка M в грани ABCD, точка N на ребре AD) постройте:
а) точки пересечения
Вариант А1: прямой MN с плоскостью AA₁B₁ и прямой A₁N с плоскостью CDD₁;
Вариант А2: прямой MN с плоскостью CC₁D₁ и прямой C₁M с плоскостью ABB₁;
б) линию пересечения
Вариант А1: плоскости C₁MN с плоскостью BB₁C₁;
Вариант А2: плоскости A₁MN с плоскостью DAA₁.

Решение

А.
а) Прямая MN лежит в плоскости ABCD. Плоскости ABCD и AA₁B₁ пересекаются по прямой AB. Продолжаем MN до пересечения с AB в точке P. Это точка пересечения MN с плоскостью AA₁B₁.
Прямая A₁N лежит в плоскости AA₁D₁. Плоскости AA₁D₁ и CDD₁ пересекаются по прямой DD₁. Продолжаем A₁N до пересечения с DD₁ в точке Q. Это точка пересечения A₁N с плоскостью CDD₁.
б) Точка C₁ общая для плоскостей C₁MN и BB₁C₁. Плоскость ABCD пересекает BB₁C₁ по прямой BC. Продолжаем MN до пересечения с BC в точке R. Эта точка тоже общая. Линия пересечения — прямая C₁R.

А.
а) Плоскости ABCD и CC₁D₁ пересекаются по прямой CD. Продолжаем MN до пересечения с CD в точке P. Это точка пересечения MN с плоскостью CC₁D₁.
Для C₁M проводим плоскость CC₁M. Прямая CM пересекает AB в точке S. Плоскость CC₁M пересекает плоскость ABB₁ по прямой SS₁, где SS₁ CC₁ и S₁ лежит на A₁B₁. Прямая C₁M пересекает SS₁ в точке T. Это точка пересечения C₁M с плоскостью ABB₁.
б) Точка A₁ общая для плоскостей A₁MN и DAA₁. Точка N лежит на AD, поэтому она тоже общая. Линия пересечения — прямая A₁N.

💡 Почему так

Точка пересечения прямой с плоскостью лежит на линии пересечения плоскости с другой плоскостью, содержащей эту прямую.

Ответ

А: а) P = MN ∩ AB, Q = A₁N ∩ DD₁; б) прямая C₁R, где R = MN ∩ BC.
А: а) P = MN ∩ CD, T = C₁M ∩ SS₁; б) прямая A₁N.

С-, Точка пересечения прямой с плоскостью

На данном рисунке плоскость α содержит точки A, B, C и D, но не содержит точку M.
а) Постройте точку K — точку пересечения
прямой AB и плоскости MCD (вариант А1); прямой CD и плоскости MAB (вариант А2).
б) Лежит ли точка K в плоскости α? Ответ объясните.

Решение

а) А. Плоскости MCD и α пересекаются по прямой CD. Прямая AB лежит в α, поэтому её точка пересечения с плоскостью MCD лежит на CD. Продолжаем AB и CD до пересечения и получаем точку K.
А. Плоскости MAB и α пересекаются по прямой AB. Прямая CD лежит в α, поэтому K лежит на AB. Продолжаем CD и AB до пересечения и получаем ту же точку K.
б) В обоих вариантах K лежит на прямой AB (А) или CD (А), а эти прямые лежат в α. Значит, K принадлежит α.

💡 Почему так

Прямая, лежащая в плоскости, пересекает любую другую плоскость в точке, лежащей на линии пересечения этих плоскостей.

Ответ

а) K = AB ∩ CD (продолжения прямых AB и CD в плоскости α).
б) Да, K лежит в плоскости α.

С-, Ошибка на рисунке

Вариант А1: На данном рисунке A ∈ α, B ∈ β, C ∈ l. В чём ошибка данного рисунка? Дайте объяснение.
Вариант А2: На данном рисунке точки A, B и C лежат в плоскости α, K ∈ AD, M ∈ BD, N ∈ CD. В чём ошибка данного рисунка? Дайте объяснение.

Решение

А. Прямая l — линия пересечения плоскостей α и β. На рисунке точка C ∈ l лежит на отрезке AB. Тогда прямая AB содержит две точки плоскости α: A и C. Значит, вся прямая AB лежит в α, и B ∈ α. Но B ∈ β, поэтому B должна лежать на l = α ∩ β. На рисунке B не лежит на l. Получили противоречие.

А. На рисунке точка M лежит на отрезке KN. Прямая KN лежит в плоскости ADC. Тогда прямая BD пересекает плоскость ADC в точке M. Но B не лежит в плоскости ADC, поэтому у прямой BD с этой плоскостью только одна общая точка — D. Получаем M = D, а на рисунке M ≠ D. Противоречие.

💡 Почему так

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Ответ

А: если C ∈ AB, то B ∈ α, а B должна лежать на l; рисунок это не показывает.
А: M не может лежать на KN: прямая BD пересекает плоскость ADC только в точке D.

Помогло?

Вариант А1: Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три…