В треугольной пирамиде DABC точки M и P лежат на… (геометрия)

№ Построение линии пересечения плоскостей

⚠️

Задания – (левая страница) снято слишком размыто: текст и варианты ответов не разобрать, их не решал. В задании не получается однозначно прочитать название плоскости («KNBE»): при общем положении точки K, E, N, B не лежат в одной плоскости, поэтому я его не решал. Чтобы решить – и , переснимите ближе и крупнее, по – задания на фото, или пришлите фото файлом.

В треугольной пирамиде $D A B C$ точки $M$ и $P$ лежат на продолжении рёбер $C D$ и $A B$ соответственно так, что $D M > D C$ . Точка $A$ лежит между $B$ и $P$ , точка $C$ — между $D$ и $M$ , точка $N$ принадлежит ребру $B D$ . Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости $M N P$ и $A B C$ .

Решение

Точки , лежат в плоскости , а прямая тоже лежит в ней. Поэтому прямые и пересекаются. Обозначим .
Точка лежит на , значит, в плоскости . Она лежит на , значит, и в плоскости . Итак, — общая точка двух плоскостей.
Точка лежит на прямой , то есть в плоскости . Она лежит и в плоскости . Итак, — вторая общая точка.
Две общие точки определяют прямую , по которой плоскости и пересекаются.

💡 Почему так

Две различные плоскости, имеющие две общие точки, пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

Ответ

✓ dzmen.ru

Искомая прямая — , где .

№ Сечение пирамиды, подобие

Плоскость $α$ пересекает ребро $B D$ и медиану $B F$ грани $A B C$ правильной пирамиды $D A B C$ в точках $D_{1}$ и $B_{1}$ и делит их в отношении $D D_{1} : D_{1} B = F F_{1} : F_{1} B = 1 : 4$ . Найдите длину отрезка $D_{1} F_{1}$ , если каждое ребро пирамиды равно 4 см.

Решение

Опечатка в условии: по записи точки и лежат на и , поэтому далее считаю так.

Так как , то . Аналогично .
В треугольнике стороны и пропорциональны и , значит, и треугольники и подобны с коэффициентом .
— медиана равносторонней грани со стороной , то есть её высота:
Тогда

💡 Почему так

Если отрезок делит две стороны треугольника в одном отношении от общей вершины, он параллелен третьей стороне и отсекает подобный треугольник.

Ответ

✓ dzmen.ru

см см

№ Сечение пирамиды, вписанная окружность

Каждое ребро треугольной пирамиды $S A B C$ равно 12 см. Определите радиус окружности, вписанной в сечение, которое проходит через середины рёбер $A B$ , $B C$ , $S B$ . Найдите отношение найденного радиуса к радиусу окружности, вписанной в треугольник $A B C$ .

Решение

Пусть , , — середины , , . Сечение — треугольник .
— средняя линия треугольника : .
— средняя линия треугольника : . — средняя линия треугольника : .
Треугольник равносторонний со стороной , его вписанный радиус
Для треугольника со стороной :
Отношение:

💡 Почему так

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной равен .

Ответ

✓ dzmen.ru

см; отношение радиусов .

№ Отрезок прямой внутри призмы

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ проведен отрезок $C_{1} D$ , где $D$ — середина $A B$ . Через вершину $A$ и точку, которая делит отрезок $C_{1} D$ в отношении $2 : 1$ , считая от вершины $C_{1}$ , проведена прямая. Определите отрезок этой прямой, заключенный внутри призмы, если $A B = 16$ см, $C_{1} D = 18$ см.

Решение

Пусть , .

Высота основания . Высота призмы из :
Координаты: , , , , . Тогда
Прямая : . Уравнение грани : . Подставляем:
При высота равна , то есть точка выхода лежит на боковой грани (в середине по высоте ).
Длина вектора при :
Отрезок внутри призмы: .

💡 Почему так

Прямая выходит из призмы в точке пересечения с гранью ; длина отрезка — это при найденном .

Ответ

✓ dzmen.ru

см

№

Построение и длина отрезка в пирамиде

В правильной пирамиде $D A B C$ точка $L$ лежит на ребре $A C$ , точка $M$ — середина ребра $B D$ , точка $N$ лежит на ребре $B C$ . Найдите длину отрезка, лежащего в пирамиде, проходящего через $N$ и пересекающего $A D$ и $L M$ , если каждое ребро пирамиды равно 6, $C L = N C = 2$ .

Решение

Координаты: , , , (высота ).

, , .
Точка на : . Точка на : . Условие: , , лежат на одной прямой.
, , .
По : . По : , откуда . Значит, — середина , .
По : , откуда , . Это подходит, так как (точка лежит на ).
Прямая начинается в (на ребре ) и заканчивается в (на ребре ):

💡 Почему так

Искомая прямая — пересечение плоскостей и ; внутри пирамиды лежит отрезок от на ребре до точки на ребре .

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

В треугольной пирамиде DABC точки M и P лежат на продолжении рёбер…