В треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка P — середина… (геометрия)

№ Сечение призмы, отношение отрезков

В треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ точка $P$ — середина ребра $A_{1} C_{1}$ , точка $Q$ — середина ребра $B C$ . Найдите, в каком отношении плоскость $(A B_{1} C_{1})$ делит отрезок $P Q$ .

Решение

Пусть — середина , — середина . Тогда и , значит, .
— средняя линия треугольника , — средняя линия треугольника . Поэтому . Точки лежат в одной плоскости, и — параллелограмм. Его сторона равна и параллельна ей.
Точка лежит на , поэтому принадлежит плоскости .
В параллелограмме отрезок соединяет середины сторон и и пересекает диагональ в её середине . Тогда — середина и , то есть .
Прямая лежит и в плоскости , и в плоскости . Пусть . Это и есть точка пересечения с плоскостью .
Треугольники и подобны, так как . Отсюда

💡 Почему так

Плоскость, проведённая через и параллельно боковому ребру, пересекает плоскость по прямой . Отношение находим из подобия треугольников.

Ответ

, считая от точки .

№ Пересечение плоскости с медианой пирамиды

В треугольной пирамиде $S A B C$ точка $D$ — середина $A B$ , точка $E$ делит ребро $S C$ в отношении $S E : E C = 5 : 1$ . Найдите, в каком отношении плоскость $(A B E)$ делит медиану $S O$ пирамиды (то есть отрезок, соединяющий вершину $S$ с точкой пересечения медиан грани $A B C$ ).

Решение

— точка пересечения медиан , поэтому лежит на медиане и . Значит, .
Плоскости и пересекаются по прямой , так как и принадлежит обеим плоскостям. Отрезок лежит в плоскости . Пусть . Это точка пересечения медианы с плоскостью .
Применим теорему Менелая к треугольнику и прямой , которая пересекает в точке , в точке и в точке :
Подставим и :

💡 Почему так

Прямая — линия пересечения плоскости с плоскостью , в которой лежит медиана . Поэтому отношение находим по теореме Менелая в треугольнике .

Ответ

, считая от вершины .

Помогло?

В треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка P — середина ребра A₁C₁, точка Q…