Через точки K, L, M. (Точка K лежит на ребре AC, L…

Построение сечения призмы плоскостью, проходящей через точки , , :

1. Точки и лежат в грани . Проводим отрезок .
2. Прямая лежит в плоскости . Продолжаем прямую до пересечения с прямой (лежащей в той же плоскости грани). Получаем точку .
3. Точки и лежат в плоскости нижнего основания . Проводим прямую .
4. Отрезок пересекает ребро в некоторой точке , а ребро пересекает в точке . Проводим отрезки и соединяем с в грани .
5. Прямая пересекает прямую (или прямую ребра при продолжении). Либо находим точку и проводим через и прямую в грани , которая пересечет в точке .
6. Соединяем точку с точкой в верхнем основании.
7. Многоугольник сечения — (или пятиугольник, в зависимости от соотношения сторон).

Построение сечения через точки , , :

1. Точки и лежат в плоскости боковой грани . Соединяем их отрезком .
2. Точки и лежат в плоскости грани . Соединяем их отрезком .
3. Прямая пересекает прямую (лежащую в той же плоскости грани) в точке .
4. Точки и лежат в плоскости нижнего основания . Проводим прямую .
5. Прямая пересекает ребро в точке . Проводим отрезок .
6. Точки и лежат в плоскости грани . Соединяем их отрезком .
7. Искомое сечение — четырёхугольник .

Построение сечения, проходящего через прямую параллельно прямой :

1. Прямая лежит в плоскости грани . Точка принадлежит этой грани и искомой плоскости.
2. В плоскости грани через точку проведем прямую, параллельную .
3. Так как — параллелограмм, прямая, проходящая через вершину параллельно диагонали , пересекает прямую (или ). Удобнее провести через точку прямую в плоскости сечения: в плоскости прямая сечения пересекает ребро в точке .
4. Чтобы плоскость содержала прямую и была параллельна , в грани через точку проведём прямую, параллельную . Она лежит вне призмы.
   Альтернативно: через точку проведём прямую, параллельную , в плоскости, проходящей через и . Прямая ...
   Проще:

• Плоскость грани параллельна ребру .
• Проведём в плоскости прямую через точку , параллельную проекции, либо воспользуемся тем, что плоскость сечения пересекает параллельные грани по параллельным прямым.
• Грань : проведем прямую через параллельно до пересечения с продолжением в точке ( — середина ).
• Соединяем точку с точкой в плоскости грани . Отрезок пересекает ребро в точке .
• Соединяем и в плоскости .
• Искомое сечение — треугольник .

Построение сечения, проходящего через прямую параллельно :

1. Прямая параллельна ребру . Секущая плоскость параллельна , следовательно, она параллельна и .
2. Секущая плоскость содержит точку верхнего основания и параллельна ребру , значит, линия пересечения с верхним основанием содержит прямую . То есть ребро целиком лежит в секущей плоскости.
3. Соединяем и .
4. В плоскости нижнего основания через точку проводим прямую, параллельную . Она пересекает ребро в некоторой точке ().
5. В грани соединяем точки и .
6. В грани соединяем точки и .
7. Искомое сечение — равнобокая трапеция .

а) Пусть — середина ребра .

1. Точки и лежат в грани , соединяем их отрезком .
2. В грани точки и лежат в одной плоскости, соединяем их отрезком .
3. В грани точки и лежат в одной плоскости, соединяем их отрезком .
   Сечение — треугольник .

б) Пусть — середина ребра , — середина ребра .

1. Точки и лежат в грани , соединяем их отрезком .
2. Прямая пересекает прямую в точке : .
3. Точки и лежат в плоскости верхнего основания . Проводим прямую .
4. Прямая пересекает ребро в точке . Соединяем и (в грани ) и и (или точку пересечения с , которая равна ). В грани проводим отрезок .
   Сечение — четырёхугольник .

в) Пусть — центр грани (точка пересечения диагоналей), — центр грани .

1. Прямая параллельна плоскости оснований. Точки и являются серединами отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, поэтому прямая параллельна средней линии треугольника , то есть .
2. Следовательно, секущая плоскость параллельна .
3. В плоскости через точку проводим прямую, параллельную , до пересечения с в точке . Получаем отрезок .
4. Через точку в грани проводим прямую через , она пересекает ребро в точке .
5. Через точку в грани проводим прямую через , она пересекает ребро в точке .
6. Соединяем и в грани ().
   Сечение — трапеция .

г) Пусть — середина , — середина , — середина .

1. В грани соединяем и . Прямая пересекает прямую в точке .
2. Точки и лежат в плоскости . Проводим прямую , которая пересекает ребро в точке .
3. Отрезок — след в плоскости .
4. В грани соединяем точки и .
5. В грани проводим прямую через , параллельную (так как грани пересекаются), или продолжаем прямую до пересечения с в точке , соединяем и , получая точку на .
6. Соединяем и в плоскости верхнего основания.
   Сечение — пятиугольник .

д) Пусть — середина , — середина , — точка пересечения медиан треугольника .

1. Проводим прямую в плоскости . Она пересекает прямую в точке .
2. В плоскости проводим прямую через точку и центроид .
3. Прямая пересекает рёбра и в точках и соответственно.
4. В грани соединяем и .
5. Прямая пересекает в точке . В плоскости соединяем и .
6. В грани прямая сечения соединяет точку с точкой пересечения следа на грани.
   Сечение — многоугольник, получаемый последовательным соединением следов на гранях.

е) Пусть — центр грани , — середина , ().

1. Точки и лежат в плоскости верхнего основания . Соединяем их отрезком .
2. Прямая пересекает продолжение ребра в некоторой точке .
3. Точки и лежат в плоскости грани . Проводим прямую .
4. Прямая пересекает рёбра и (или ) грани в точках и .
5. Соединяем полученные точки пересечения с точками и в соответствующих гранях.

ж) Пусть — центр (центроид) основания , и — центры боковых граней и .

1. Прямая параллельна ребру (и плоскости основания ).
2. Так как секущая плоскость содержит прямую , её след на плоскости основания параллелен прямой , то есть параллелен .
3. В плоскости через точку проводим прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке , а ребро в точке .
4. В грани через точки и проводим прямую, которая пересекает ребро в точке .
5. В грани через точки и проводим прямую, которая пересекает ребро в точке .
6. В грани соединяем точки и (отрезок ).
   Сечение — трапеция .