Плоскости α и β параллельны, плоскость γ… (геометрия)

№ Взаимное расположение прямых при пересечении параллельных плоскостей

Плоскости $α$ и $β$ параллельны, плоскость $γ$ пересекает плоскость $α$ по прямой $a$ , а плоскость $β$ — по прямой $b$ . Плоскость $δ$ пересекает плоскость $γ$ по прямой $c$ . Как могут быть расположены прямые $a$ , $b$ и $c$ ?

Решение

Прямые и лежат в одной плоскости . Они не имеют общих точек, потому что лежат в параллельных плоскостях и . Значит, .
Прямая тоже лежит в плоскости . В одной плоскости две прямые либо параллельны (или совпадают), либо пересекаются. Рассмотрим оба случая.
Пусть или совпадает с . Тогда , так как . Все три прямые параллельны (в случае совпадения с или — две из них совпадают).
Пусть пересекает . Тогда не параллельна , а значит, не параллельна и . Поскольку и лежат в плоскости , они пересекаются. Прямая пересекает обе прямые и в разных точках: эти точки лежат в разных параллельных плоскостях и .
Других случаев нет: в плоскости прямая либо параллельна , либо пересекает .

💡 Почему так

Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Прямая лежит в той же плоскости , поэтому она либо параллельна им, либо пересекает обе.

Ответ

✓ dzmen.ru

. Прямая либо параллельна и (или совпадает с одной из них), либо пересекает обе прямые и в разных точках.

№ Сечение призмы плоскостью, параллельной плоскости A₁BC

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ все рёбра равны $a$ . Точка $M$ лежит на $A B$ , $A M : M B = 3 : 1$ , $N$ — середина $B_{1} C_{1}$ .
а) Через точку $M$ проведите сечение, параллельное плоскости $A_{1} B C$ .
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
г) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок $A N$ , считая от $A$ ?

Решение

а) Построение:

В плоскости основания проводим , где . Тогда .
В грани проводим , где . Тогда .
Соединяем и . Плоскость параллельна , потому что две пересекающиеся прямые и параллельны двум пересекающимся прямым и . Сечение — треугольник .

б) Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом .
Стороны треугольника : , .

в) Высота равнобедренного треугольника к основанию :

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

г) Введём координаты: , , , .
Тогда и .
Нормаль к плоскости : . Это проверяется по векторам и : скалярные произведения с равны нулю.
Плоскость сечения проходит через :

Точка на

. Подставляем в уравнение плоскости:

Значит,

💡 Почему так

Сечение, параллельное плоскости , — треугольник, подобный . Коэффициент подобия равен .

Ответ

✓ dzmen.ru

а) сечение — треугольник , где , , , ;
б) ;
в) ;
г) .

№ Теорема о пропорциональных отрезках между параллельными плоскостями

Прямая $D F$ пересекает параллельные плоскости $α$ , $β$ , $γ$ соответственно в точках $D$ , $E$ и $F$ , причем $D F = 3$ , $F E = 9$ . Прямая $E G$ пересекает плоскости $α$ и $γ$ соответственно в точках $G$ и $H$ , причем $E G = 12$ . Найдите все значения, которые может принимать длина $G H$ .

Решение

Параллельные плоскости отсекают на двух прямых, исходящих из точки , пропорциональные отрезки: .

Точки , , лежат на одной прямой, , . Возможны два случая.

Точка лежит между и . Тогда .

Точки и лежат на луче из в одну сторону, ближе к :
Точка лежит между и . Тогда .

Точка лежит за :

💡 Почему так

Это теорема о том, что параллельные плоскости отсекают на секущих пропорциональные отрезки. Взаимное расположение точек на прямой допускает два случая.

Ответ

✓ dzmen.ru

или .

Помогло?

Плоскости α и β параллельны, плоскость γ пересекает плоскость α по прямой…