Плоскость α₁ параллельна плоскости β₁, а… (геометрия)

№ Параллельные плоскости, линии пересечения

Плоскость $α_{1}$ параллельна плоскости $β_{1}$ , а плоскость $α_{2}$ параллельна плоскости $β_{2}$ ; $α_{1}$ пересекает $α_{2}$ по прямой $a$ ; $β_{1}$ пересекает $β_{2}$ по прямой $b$ . Как могут быть расположены прямые $a$ и $b$ ?

Решение

Пусть плоскость пересекает параллельные плоскости и по прямым и . Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей параллельны, поэтому .

Плоскость пересекают параллельные плоскости и по прямым и . Значит, .

Отсюда , то есть .

Если плоскости и совпадают и совпадают и , то прямые и тоже совпадают.

💡 Почему так

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые пересечения параллельны.

Ответ

✓ dzmen.ru

Прямые и параллельны (в частном случае совпадают).

№ Сечение куба плоскостью, параллельной данной

Точка $M$ лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром $a$ ; $B_{1} M : A_{1} M = 2 : 1$ .
а) Через точку $M$ проведите сечение, параллельное плоскости $A B_{1} C_{1}$ .
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
г) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок $A_{1} C$ , считая от $A_{1}$ ?

Решение

Так как , то .

Плоскость содержит точку , так как . Значит, это плоскость прямоугольника .

а) Построение.

В грани проводим , . Тогда .
В грани проводим , . Тогда .
В грани проводим , . Тогда .
Соединяем и . Получаем — прямоугольник, так как , , .

б) Периметр.

в) Площадь.

г) Отношение. Введём координаты: , , , , .

Плоскость : . Плоскость сечения, проходящая через , имеет уравнение .

Точка прямой : . Подставляем:

Значит, плоскость делит в отношении .

💡 Почему так

Сечение, параллельное данной плоскости, имеет стороны, параллельные её следам на гранях. Здесь сечение подобно прямоугольнику только по направлению сторон, а стороны уменьшаются по-разному.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) Сечение — прямоугольник, .
б)
в)
г)

№ Теорема о пропорциональных отрезках между параллельными плоскостями

Прямая $A B$ пересекает параллельные плоскости $α$ , $β$ , $γ$ соответственно в точках $A$ , $B$ , $C$ , причём $A B = 3$ , $B C = 7$ . Прямая $M K$ пересекает плоскости $α$ , $β$ , $γ$ соответственно в точках $M$ , $K$ , $P$ , причём $M P = 10$ . Найдите все значения, которые может принимать длина $M K$ .

Решение

Параллельные плоскости отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

Возможны два случая расположения точек на прямой.

) Точка лежит между и . Тогда :

Случай, когда лежит между и , невозможен, так как .

💡 Почему так

Порядок плоскостей в условии не задан, поэтому точка не обязательно лежит между и .

Ответ

✓ dzmen.ru

или

Помогло?

Плоскость α₁ параллельна плоскости β₁, а плоскость α₂ параллельна плоскости β₂…