Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB… (геометрия)

№ Треугольная пирамида, средние линии и площади граней

Дана треугольная пирамида $A B C D$ . Середину ребра $A B$ соединили с серединами всех других рёбер, кроме $C D$ , и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 4. Найдите квадрат длины ребра $C D$ , если известно, что произведение площадей треугольников $C A D$ и $C B D$ равно 16, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без $A B$ и $C D$ равна 40.

Решение

Пусть — середина . Отрезки от к серединам , , , — средние линии треугольников и , поэтому они равны , , , .

Произведение длин:

Площади граней: , . Тогда

По условию произведение равно , значит, равенство достигается: и .

Тогда . Сумма квадратов рёбер без и :

💡 Почему так

Площадь треугольника не больше половины произведения двух его сторон (так как ); равенство — при прямом угле между ними.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Путь центра катящегося шестиугольника

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной $a$ прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами $35 a$ и $12 a$ (полностью), вернувшись в исходную позицию. Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что $a = \frac{1}{π}$ ?

Решение

Гипотенуза: , периметр равен .

Центр шестиугольника удалён от его вершин на (радиус описанной окружности равен стороне).

На прямой: при перекатывании через одну сторону шестиугольник поворачивается на вокруг вершины, и центр проходит дугу радиуса . На периметре таких поворотов :

В углах треугольника колесо поворачивается вокруг вершины на внешний угол, сумма внешних углов равна .

Общий угол поворота: радиан. Длина траектории:

💡 Почему так

Центр всегда движется по дугам окружностей радиуса вокруг точек опоры, поэтому длина пути равна , умноженному на суммарный угол поворота в радианах.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех…