Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠CAD=3∠ADB, ∠ACD=7∠BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.
Пусть
дуга
Сумма дуг равна
Отсчитываем положение точек по окружности от
Хорда с концами в точках
Направление
Направление
Угол между прямыми:
Параллельные хорды отсекают равные дуги, а угол между хордами выражается через дуги окружности.
Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 216, 735, 498?
Нужно, чтобы цифры каждого числа шли в девятизначном числе в том же порядке (как подпоследовательность). Все цифры
Условия порядка:
Три цепочки нужно перемешать так, чтобы число было наибольшим. На первое место ставим наибольшую из возможных начальных цифр: это
Дальше после
Получаем
Число:
Проверка: это число из девяти цифр
Жадный выбор: на каждом шаге ставим наибольшую цифру из тех, что можно поставить, не нарушив порядок цифр в трёхзначных числах.
Бочонок — это пространственное тело, образованное тремя правильными многоугольниками, лежащими один над другим. Бочонок имеет одинаковые верхнюю и нижнюю грани — правильные многоугольники, и боковые грани в виде трапеций, так что одно основание каждой трапеции является ребром верхней или нижней грани, а другое является стороной среднего многоугольника, как показано на рисунке. В каждой грани бочонка с десятиугольниками в основании провели ровно одну из диагоналей. Какое максимальное число звеньев может иметь образованная этими диагоналями ломаная, не проходящая через одну и ту же точку дважды (ломаная может оказаться замкнутой, и тогда совпадение начала и конца не считается повторным прохождением точки)? Пример такой ломаной отмечен зелёным цветом.
Бочонок с десятиугольниками: верхняя и нижняя грани — десятиугольники, средний многоугольник — десятиугольник, повёрнутый на
Вершины:
Диагональ трапеции соединяет вершину верхнего (или нижнего) основания со средней вершиной, то есть это ребро между слоем (верх или низ) и серединой. У каждой диагонали верхней трапеции один конец наверху, другой в середине; у нижней — внизу и в середине. Диагонали десятиугольников верха и низа соединяют вершины в пределах слоя.
Ломаная не проходит через точку дважды, значит это простой путь или цикл по вершинам. Число звеньев не больше числа вершин:
Рассмотрим ограничения. Каждая диагональ трапеции соединяет среднюю вершину с вершиной верха или низа. Вершины верха и низа имеют степень не более
Из
Построение на
Каждая диагональ — одно звено, поэтому звеньев не больше числа диагоналей, то есть
