Через точки F, E, T. (Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки. На рисунке: E лежит на ребре AA₁, F на ребре BB₁, T на ребре B₁C₁; AE = 3x, EA₁ = 5x, BF = 11y, FB₁ = 5y; T — середина B₁C₁, отмечено чёрточками.)
Фото перевёрнуто; условие прочитано как «Через точки F, E, T построить сечение».
Построение:
- Точки E и F лежат в одной грани AA₁B₁B. Проводим прямую EF до пересечения с прямой A₁B₁ (продолжение за точку B₁) в точке P. Точка P лежит и в плоскости сечения, и в плоскости нижнего основания.
- Точки P и T лежат в плоскости нижнего основания A₁B₁C₁D₁. Проводим прямую PT. Она пересекает ребро A₁D₁ в точке D₁ (проверка ниже).
- Точка D₁ и точка E лежат в грани AA₁D₁D. Соединяем D₁E.
- Точки F и T лежат в грани BB₁C₁C. Соединяем FT.
Проверка положения P и D₁. Так как AA₁ = BB₁, имеем
значит B₁ — середина PA₁, то есть PB₁ = A₁B₁.
Далее T — середина B₁C₁, а B₁ — середина PA₁. Значит, TB₁ — средняя линия треугольника PA₁D₁', где D₁' — точка пересечения PT с прямой A₁D₁. Отсюда A₁D₁' =
Итак, сечение — четырёхугольник EFTD₁.
Чтобы построить сечение, ищут точки пересечения плоскости сечения с плоскостями граней. Для этого продолжают прямую, лежащую в одной грани, до пересечения со следом сечения в другой плоскости. Так найдена вспомогательная точка P.
Сечение — четырёхугольник EFTD₁ (стороны EF, FT, TD₁, D₁E). Вспомогательная точка P = EF ∩ A₁B₁ лежит на продолжении A₁B₁ за B₁, причём B₁P = A₁B₁.
