∠1 − ∠2 = 10°. На рисунке четырёхугольник FSMT с диагоналями FM и ST, которые пересекаются в точке O. FS = SM. Углы при вершинах F и M, образованные диагональю FM и сторонами, отмечены равными. ∠1 — угол SFM (и такой же угол при M), ∠2 — угол FST (и такой же угол при T). Найти ∠1 и ∠2.
-
В треугольнике FSM стороны FS = SM, поэтому он равнобедренный с основанием FM. Значит, углы при основании равны: ∠SFM = ∠SMF = ∠
. -
По рисунку ∠TFM = ∠SFM и ∠TMF = ∠SMF, то есть в треугольнике FTM углы при F и M тоже равны ∠
. Значит, TF = TM. -
Точки S и T равноудалены от концов отрезка FM, поэтому обе лежат на серединном перпендикуляре к FM. Следовательно, ST ⟂ FM, то есть ∠FOS =
°. -
В прямоугольном треугольнике FOS:
-
Составим систему:
Сложим уравнения:
Две точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре, поэтому диагонали перпендикулярны. Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают
∠
