Механические колебания и волны, 9 класс: примеры с решением

Механические колебания — это движение, которое точно или приблизительно повторяется через равные промежутки времени. Так качается шарик на нити, груз на пружине, струна гитары, ветка после толчка. У каждого такого тела есть положение равновесия, и оно возвращается к нему под действием силы: упругости или тяжести (подробнее про них в разделе силы в механике).

Механическая волна — это колебания, которые передаются от частицы к частице в упругой среде. Сами частицы остаются возле своих мест, а по среде бежит возмущение. Волна на воде, звук в воздухе и сейсмическая волна в земной коре относятся к упругим волнам.

Это разные явления, но величины у них общие: амплитуда, период, частота. Колебания ты описываешь для одного тела, волну для всей среды. Если нужно вспомнить основы, начни с темы механическое движение.

Главные величины колебаний:

• амплитуда A — наибольшее отклонение от положения равновесия, измеряется в метрах или сантиметрах;
• период T — время одного полного колебания, в секундах;
• частота ν — число колебаний за 1 секунду, в герцах (Гц);
• циклическая частота ω — число колебаний за 2π секунд, в рад/с.

Связь между ними:

• ν = 1/T и T = 1/ν
• ω = 2π/T = 2πν
• ν = N/t, где N — число колебаний за время t

Для двух самых известных систем период считают так:

• нитяной маятник: T = 2π√(l/g), где l — длина нити;
• пружинный маятник: T = 2π√(m/k), где m — масса груза, k — жёсткость пружины.

Период нитяного маятника не зависит от массы груза и (при малых углах) от амплитуды. Во время колебаний энергия переходит из потенциальной в кинетическую и обратно, а без трения полная механическая энергия сохраняется. Об этом подробнее в теме работа и энергия.

Возьмём уравнение x(t) = 2 + 6cos(πt/2), где x в сантиметрах, t в секундах. Нужно найти начальную координату, амплитуду, период, а также уравнения скорости и ускорения.

Шаг 1. Сравни с общим видом x(t) = x₀ + A cos(ωt). Число перед косинусом — амплитуда: A = 6 см. Слагаемое без косинуса — положение равновесия: x = 2 см.

Шаг 2. Коэффициент при t — циклическая частота: ω = π/2 рад/с.

Шаг 3. Период: T = 2π/ω = 2π ÷ (π/2) = 4 с. Частота ν = 1/T = 0,25 Гц.

Шаг 4. Начальная координата: подставь t = 0. Тогда cos 0 = 1, и x(0) = 2 + 6 = 8 см.

Шаг 5. Скорость — это то, как быстро меняется координата. Постоянное слагаемое пропадает, косинус превращается в минус синус, а множителем появляется ω: v(t) = −6 × (π/2) × sin(πt/2) = −3π sin(πt/2) см/с. Наибольшая скорость равна Aω = 3π ≈ 9,4 см/с, начальная скорость равна 0.

Шаг 6. Ускорение получается так же: a(t) = −6 × (π/2)² × cos(πt/2) = −(3π²/2) cos(πt/2) см/с². Наибольшее значение Aω² ≈ 14,8 см/с².

Проверка: в начале движения тело в крайней точке (x = 8 см), там скорость равна нулю, а ускорение наибольшее по модулю. Всё сходится.

Для волны к периоду и частоте добавляются длина волны λ (расстояние, на которое волна распространяется за один период) и скорость v. Связь такая: λ = vT = v/ν.

Волны бывают двух видов:

• поперечные — частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения (волна на верёвке). Они возможны только в твёрдых телах и на поверхности жидкости;
• продольные — частицы колеблются вдоль направления распространения (сжатия и разрежения). Они бывают в любых средах.

Звук — продольная упругая волна, которую воспринимает ухо; в воздухе его скорость примерно 340 м/с. Высота тона зависит от частоты, громкость — от амплитуды. В вакууме звук не распространяется: нужна среда.

Пример: источник колеблется с частотой 200 Гц, скорость звука 340 м/с. Длина волны λ = 340 ÷ 200 = 1,7 м.

От механических волн отличаются электромагнитные: им среда не нужна. Они разобраны в теме электромагнитные колебания и волны.

Путают период и полпериода. Если шарик переходит из крайнего правого положения в крайнее левое за 0,8 с, это только половина колебания. Период T = 1,6 с, частота ν = 1/1,6 = 0,625 Гц.

Берут размах вместо амплитуды. Амплитуда измеряется от положения равновесия. Расстояние между двумя крайними точками равно 2A.

Принимают x(0) за амплитуду. В уравнении x = 1 + 5cos(πt/4) амплитуда равна 5, а не 6: единица — это сдвиг положения равновесия.

Смешивают ν и ω. Частота ν в герцах и циклическая частота ω в рад/с различаются в 2π раз. Если в уравнении стоит cos(πt/4), то π/4 — это ω, и период считают по формуле T = 2π/ω.

Неверно читают график. Период определяют по оси времени, амплитуду по оси смещения. При сравнении двух графиков смотри, сколько полных колебаний умещается на одном и том же отрезке времени.

Чаще всего встречаются три типа: определить характеристики колебания по уравнению x(t) и записать скорость с ускорением, найти частоту или период по описанию движения маятника, сравнить амплитуды, периоды и частоты по графикам.

Найди похожее задание в списке выше и посмотри, как устроен ход решения. Если твоего задания там нет, сфотографируй условие и отправь на сайт: решение придёт с пошаговым объяснением.