Дано: прямая , точки и по разные стороны от неё.
Построить: точку такую, что прямая содержит биссектрису угла .
Анализ. Пусть — образ точки при симметрии относительно прямой . Если содержит биссектрису угла , то — ось симметрии этого угла (задача ), и луч переходит в луч . Значит, точка лежит на луче . Отсюда способ построения.
Построение.
-
Строим точку , симметричную относительно прямой . Она лежит в той же полуплоскости, что и .
-
Проводим прямую .
-
Точка — пересечение прямых и .
Доказательство. Точка лежит на оси , поэтому и лучи , симметричны относительно . Пусть — точка прямой , лежащая по ту же сторону от , что и острый угол между и лучом . Тогда (симметрия сохраняет углы). Точки и лежат на прямой, проходящей через , по одну сторону от , то есть на одном луче с началом , поэтому лучи и совпадают и . Значит, , причём лучи и лежат в разных полуплоскостях относительно , а каждый из углов острый. Следовательно, луч лежит внутри угла и делит его пополам: прямая содержит биссектрису угла .
Замечания. Если прямая параллельна , то она не пересекает и решений нет. Если и симметричны относительно (то есть ), то подходит любая точка прямой (кроме основания перпендикуляра ): задача имеет бесконечно много решений.
