Номер Гл.5 ВП 20

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть — точка пересечения биссектрис треугольника (она существует по доказанному ранее). Проведём из перпендикуляры , , к прямым , , . Так как равноудалена от сторон треугольника (лежит на всех трёх биссектрисах), . Значит, окружность с центром радиуса проходит через точки , , , причём стороны треугольника касаются этой окружности в этих точках, так как они перпендикулярны радиусам , , . Следовательно, окружность с центром радиуса вписана в треугольник .

В треугольник можно вписать только одну окружность: центр вписанной окружности обязан совпадать с точкой пересечения биссектрис (единственной), а радиус — с расстоянием от неё до сторон, поэтому такая окружность единственна.