Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.
Дано:
Выяснить: может ли вершина треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне.
Решение.
-
Пусть
— серединный перпендикуляр к стороне . Вершины и на нём лежать не могут: он проходит через середину отрезка и перпендикулярен к , а значит, пересекает прямую только в точке , которая отлична от и . -
Предположим, что вершина
лежит на прямой . По теореме о серединном перпендикуляре каждая его точка равноудалена от концов отрезка, поэтому . Но тогда треугольник равнобедренный, что противоречит условию. -
Для серединных перпендикуляров к сторонам
и рассуждение такое же: на них могла бы лежать только противоположная вершина, но тогда две стороны оказались бы равными.
Значит, ни одна вершина разностороннего треугольника не лежит на серединном перпендикуляре ни к одной из его сторон.
Точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов (п.
Нет, не может: иначе две стороны треугольника были бы равны.
