ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 401

№

Построение окружности, касающейся прямой в данной точке

Даны прямая $a$ , точка $A$ , лежащая на этой прямой, и точка $B$ , не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку $B$ и касающуюся прямой $a$ в точке $A$ .

Решение

Дано: прямая , , .

Построить: окружность, проходящую через и касающуюся в точке .

Анализ. Пусть окружность с центром построена. Так как касается окружности в точке , радиус перпендикулярен к (свойство касательной), то есть лежит на перпендикуляре к прямой , проходящем через . Так как (радиусы), точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку .

Построение.

Через точку проводим прямую, перпендикулярную к .
Строим серединный перпендикуляр к отрезку .
Точку пересечения этих прямых обозначаем и проводим окружность с центром радиуса .

Доказательство. Точка лежит на серединном перпендикуляре к , поэтому , и окружность проходит через . Прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна к радиусу , поэтому — касательная к окружности (признак касательной), а — точка касания.

Исследование. Перпендикуляр к в точке и серединный перпендикуляр к перпендикулярны соответственно к прямым и . Эти две прямые были бы параллельны, только если или лежит на , что невозможно, так как , а . Значит, они пересекаются в одной точке, и задача всегда имеет единственное решение.

💡 Почему так

Центр искомой окружности — на перпендикуляре к касательной в точке касания и одновременно на серединном перпендикуляре к хорде .

Ответ

Центр — точка пересечения перпендикуляра к в точке и серединного перпендикуляра к ; искомая окружность — с центром и радиусом . Решение единственно.

Помогло?

Номер 401