ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 394

№

Касательные к концам хорды

Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.

Решение

Дано: окружность с центром ; — хорда, не являющаяся диаметром; , — касательные в точках , .

Найти: доказать, что и пересекаются.

Решение.

Так как , прямые и различны ( касается окружности только в точке , — только в точке ). Предположим, что . По теореме о свойстве касательной и . Так как , прямая , перпендикулярная , перпендикулярна и прямой ; но тоже перпендикулярна . Через точку можно провести только один перпендикуляр к прямой , значит, прямые и совпадают, то есть точки , , лежат на одной прямой. Но тогда хорда проходит через центр , то есть является диаметром — это противоречит условию.

Значит, предположение неверно, и не параллельна . Так как и , прямые и пересекаются.

💡 Почему так

Если бы касательные были параллельны, перпендикулярные к ним радиусы и совпали бы, и хорда оказалась бы диаметром — вопреки условию.

Ответ

Доказано: касательные в концах хорды, не являющейся диаметром, пересекаются.

Помогло?

Номер 394