№
Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Решение
Дано: выпуклый
- Пусть
— пересечение внутренних биссектрис углов и . Точка равноудалена от прямых , , ; окружность с центром и радиусом до этих прямых касается трёх сторон. - Предположим, что она не касается
. Проведём к ней касательную , пересекающую и в ; выбираем ближайшую к касательную. Четырёхугольник описан, поэтому . - Если
лежат внутри исходных боковых сторон, то , . Подставляя исходное равенство , получаем . Это невозможно по строгому неравенству многоугольника: отрезок короче ломаной . - В случае расположения снаружи получаем то же противоречие, переставив исходный и вспомогательный четырёхугольники. Значит,
сама касательная к этой окружности.
Ответ
В выпуклый четырёхугольник с равными суммами противоположных сторон можно вписать окружность.
Помогло?
