ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 802

№

Касательные к пересекающимся окружностям

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$ . Через точку $A$ проведена прямая $m$ , пересекающая эти окружности в точках $C$ и $D$ . Через точки $C$ и $D$ проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке $K$ . Докажите, что: а) величина угла $CKD$ не зависит от выбора прямой $m$ ; б) четырёхугольник $BCKD$ можно вписать в окружность.

Решение

Дано: обозначения как в условии, и — касательные. Доказать: а) постоянство ; б) цикличность .

По теореме об угле касательной и хорды угол между и равен вписанному углу первой окружности (или смежному с ним). Аналогично угол между и равен углу второй окружности.
Точки лежат на одной прямой. Поэтому углы и смежные, и из отношений предыдущего шага получается для выпуклого расположения .
По обратному свойству вписанного четырёхугольника вписан в окружность.
Тогда и опираются на одну дугу (при другом расположении берётся дополнительный угол). По задаче величина постоянна. Значит, постоянна и величина .

Ответ

а) не зависит от ; б) — вписанный четырёхугольник.

Помогло?

Номер 802