а) Дано: отрезки и .
Построить: прямоугольник со сторонами , .
Построение. ) Строим прямой угол с вершиной . ) На его сторонах откладываем и . ) Через точку проводим прямую, параллельную , через точку — прямую, параллельную ; их пересечение — точка .
Доказательство. — параллелограмм (противоположные стороны попарно параллельны) с прямым углом , поэтому это прямоугольник (задача ); его смежные стороны равны и .
Исследование. Решение существует всегда и единственно.
б) Дано: отрезки (сторона) и (диагональ).
Построить: прямоугольник с , .
Анализ. В прямоугольнике , поэтому треугольник прямоугольный с катетом и гипотенузой .
Построение. ) Откладываем отрезок . ) Через точку проводим прямую, перпендикулярную к . ) Проводим окружность с центром радиуса ; точку её пересечения с перпендикуляром обозначаем . ) Через точку проводим прямую, параллельную , через точку — прямую, параллельную ; их пересечение — точка .
Доказательство. — параллелограмм по построению, угол прямой, значит, — прямоугольник (задача ) со стороной и диагональю .
Исследование. Окружность радиуса с центром пересекает перпендикуляр тогда и только тогда, когда (расстояние от до перпендикуляра равно ). При решение единственно (две точки пересечения дают равные прямоугольники по разные стороны от ); при решений нет.
в) Дано: отрезок и угол .
Построить: прямоугольник с диагональю и углом между диагоналями.
Анализ. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому , а угол между ними равен .
Построение. ) Делим отрезок пополам. ) Строим угол с вершиной , равный данному углу , и продолжаем его стороны за вершину. ) На одной из полученных прямых откладываем от в обе стороны отрезки , на другой — . ) Последовательно соединяем точки , , , .
Доказательство. Диагонали и четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому это параллелограмм (признак , п. ). Его диагонали равны: , значит, — прямоугольник (признак прямоугольника, п. ). Угол между диагоналями равен по построению.
Исследование. Решение существует всегда и единственно.
