ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 512

№

Является ли четырёхугольник квадратом

Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

Решение

а) Нет. Приведём пример: четырёхугольник с диагоналями , , у которого точка пересечения делит пополам только диагональ , а .

У такого четырёхугольника и , но (треугольники и прямоугольные с общим катетом и разными катетами , поэтому их гипотенузы различны). Значит, это не квадрат (и даже не параллелограмм: диагонали не делятся точкой пересечения пополам).

б) Нет. Диагонали имеют общую середину, поэтому по признаку (п. ) четырёхугольник — параллелограмм; его диагонали перпендикулярны, значит, по признаку ромба (задача , а) это ромб. Но ромб не обязательно квадрат: например, ромб с углами и .

в) Да. Диагонали имеют общую середину, поэтому четырёхугольник — параллелограмм (признак ). Диагонали параллелограмма равны, значит, он прямоугольник (признак прямоугольника, п. ). Диагонали параллелограмма перпендикулярны, значит, он ромб (задача , а). Прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб), — квадрат по определению.

💡 Почему так

Квадрат одновременно прямоугольник (равные диагонали) и ромб (перпендикулярные диагонали), но оба признака работают только для параллелограмма, то есть когда диагонали ещё и делятся пополам.

Ответ

а) Нет; б) нет; в) да.

Помогло?

Номер 512