Дано: равносторонний , точка на ().
Найти: построить , , чтобы был равносторонним.
Построение. На стороне откладываем от точки отрезок (точка ). На стороне откладываем от точки отрезок (точка ). Треугольник — искомый.
Доказательство. Пусть сторона равна . Тогда , (так как на ); , (по построению); , (по построению).
Рассмотрим треугольники , , , «отрезанные» по углам исходного треугольника. У каждого из них один угол равен углу равностороннего треугольника, то есть (углы , , треугольника ), а стороны, прилежащие к этому углу, равны и в одном и том же порядке:
По первому признаку (две стороны и угол между ними)
. Значит, третьи стороны этих треугольников равны:
— треугольник
равносторонний.
