№ Подобие треугольника центров тяжести основанию
Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.
Решение
Дано: тетраэдр с основанием ; , , — точки пересечения медиан боковых граней , , соответственно. Доказать .
По задаче отрезок между точками пересечения медиан граней и параллелен отрезку между оставшимися вершинами и , причём . Следовательно, .
Тем же рассуждением для граней и получаем и .
Для граней и получаем и . Таким образом, отношения соответствующих сторон .
По признаку подобия треугольников по трём пропорциональным сторонам с коэффициентом . Это треугольник, подобный основанию при надлежащем соответствии вершин. Требуемое доказано.
Ответ
Треугольник центров тяжести боковых граней подобен основанию с коэффициентом .
