ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 622

№

Точка пересечения бимедиан четырёхугольника

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника $ABCD$ , пересекаются в точке $M$ . Точка $O$ — произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство $\overrightarrow{OM}=\frac14(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ .

Решение

Дано: — середины ; — середины ; . Доказать формулу.

Решение.

Четырёхугольник — параллелограмм по теореме Вариньона: его стороны являются средними линиями треугольников с общей диагональю или . Отрезки и — диагонали этого параллелограмма, поэтому их пересечение делит каждую пополам.
По формуле вектора к середине . Для середин исходных сторон также
Подставим и раскроем скобки:

Это не зависит от выбора точки .

Ответ

Помогло?

Номер 622