Номер 191

Дано: куб . Доказать: .

1. В кубе . Плоскость содержит прямую , а плоскость — параллельную ей ; общая линия плоскостей тоже параллельна этим рёбрам.
2. Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной . След первой плоскости параллелен , а след второй — : это следует из того, что , а прямые и обе перпендикулярны направлению .
3. Если перенести параллельно самой себе в грань , она совпадёт по направлению с диагональю . Диагонали и квадратной грани взаимно перпендикулярны (свойство квадрата). Следовательно, угол между следами плоскостей равен .
4. По определению перпендикулярных плоскостей .