Номер 175

Дано: все рёбра тетраэдра равны . Доказать равенство двугранных углов и найти их.

1. Все грани — равносторонние треугольники со стороной . Для ребра возьмём его середину . Медианы и в гранях и перпендикулярны , поэтому — линейный угол соответствующего двугранного угла.
2. Высота равностороннего треугольника равна . Значит, , а .
3. Пусть искомый угол равен . По теореме косинусов в : . Подстановка даёт , откуда .
4. При выборе любого другого ребра получается треугольник с теми же тремя сторонами; по признаку равенства треугольников по трём сторонам его линейный угол тот же. Значит, все двугранные углы равны и .