№ Общие точки прямой и гиперболы
Докажите, что прямая y=−x+l, где l — некоторое положительное число, и гипербола y=x−1: а) имеют две общие точки, если l>2; б) имеют одну общую точку, если l=2; в) не имеют общих точек, если l<2.
Решение
Найдём общие точки, приравняв : ().
Умножим на : , то есть .
Дискриминант этого уравнения: .
а) Если , то , значит — уравнение имеет два различных корня, и ни один из них не равен нулю (их произведение ). Значит, у прямой и гиперболы две общие точки.
б) Если , то — уравнение имеет один (двукратный) корень . Значит, общая точка одна.
в) Если , то , значит — уравнение не имеет действительных корней. Значит, общих точек нет.
Ответ
Доказано: при — две общие точки, при — одна, при — общих точек нет (через знак дискриминанта уравнения ).
