№ Формулы Виета для кубического уравнения
Доказать теорему Виета для кубического уравнения: «Если x1, x2, x3 — корни уравнения x3+ax2+bx+c=0, то x1+x2+x3=−a, x1x2+x1x3+x2x3=b, x1x2x3=−c».
Решение
Обозначим левую часть уравнения через . По теореме Безу каждый корень даёт линейный множитель. С учётом кратностей, поскольку степень равна и старший коэффициент равен , имеем .
Сначала перемножим первые две скобки: .
Теперь умножим на третью скобку и соберём коэффициенты при одинаковых степенях : .
Два тождественно равных многочлена имеют равные коэффициенты при каждой степени . Сравнивая это выражение с , получаем , , . Перенос знаков даёт все три утверждения теоремы.
