ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 316

№

Решение уравнений по известному корню

Решить уравнение, если известен один его корень: 1) $x^4+x^3-7x^2-x+6=0$ , $x_1=2$ ; 2) $2x^4+12x^3+11x^2+6x+5=0$ , $x_1=-1$ ; 3) $2x^5-x^4-12x^3+6x^2+18x-9=0$ , $x_1=\frac12$ ; 4) $3x^5+x^4-15x^3-5x^2+12x+4=0$ , $x_1=-\frac13$ .

Решение

По теореме Безу известный корень позволяет выделить линейный множитель. Затем снова ищем корни у полученного частного.

При левая часть равна . Деление на даёт . Сгруппируем его члены: . Поэтому всё уравнение имеет вид . По свойству нулевого произведения .
Подстановка даёт . Деление на даёт . Группируем: . Значит, . Последний множитель положителен при любом действительном , так как . Поэтому корни только и .
Чтобы избежать дроби в множителе, используем . Деление исходного многочлена на него даёт , что можно проверить умножением: . Следовательно, или . Получаем и ; значения — двукратные корни.
Подстановка обнуляет многочлен, значит, выделяется множитель . После деления имеем . Представим его как : при раскрытии скобок получается . Тогда исходное уравнение равно . Его корни: , , , , .

Ответ

; ) ; ) ; ) .

Помогло?

Номер 316