ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 922

№

Исследование на экстремум

Исследовать на экстремум функцию $y = (x+1)^n e^{-x}$ , где $n$ — натуральное число.

Решение

Функция определена и дифференцируема при всех . По правилу производной произведения и формуле :

Множитель

знак не определяет. Стационарные точки:

(если

; при

множитель

в нуль не обращается).

Рассмотрим знак множителя : он положителен при и отрицателен при . Этот множитель меняет знак в точке с «+» на «−».

Точка . Вблизи неё множитель сохраняет знак (при он равен , так как ). Значит, меняет знак с «+» на «−», и — точка максимума при любом натуральном .
Точка (при ). Множитель при равен , поэтому вблизи он положителен. Знак определяется множителем :

если чётное (то есть нечётное), то по обе стороны от , знак не меняется, экстремума нет;
если нечётное (то есть чётное), то меняет знак с «−» на «+», значит, меняет знак с «−» на «+», и — точка минимума.
При (нечётное) стационарная точка одна, , и это максимум — случай входит в первое утверждение.

💡 Почему так

Чётность показателя определяет, меняет ли множитель знак при переходе через .

Ответ

Если нечётно, то — точка максимума, других точек экстремума нет; если чётно, то — точка максимума, — точка минимума.

Помогло?

Номер 922 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 270