ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 917

№

Эскиз графика по свойствам производной

Построить эскиз графика непрерывной функции $y = f(x)$ , определённой на отрезке $[a;\,b]$ , если:

$a=-1$ , $b=7$ , $f(-1)=0$ , $f(7)=-2$ , $f'(x)>0$ при $-1<x<4$ , $f'(x)<0$ при $4<x<7$ , $f'(4)=0$ ;
$a=-5$ , $b=4$ , $f(-5)=1$ , $f(4)=-3$ , $f'(x)<0$ при $-5<x<-1$ , $f'(x)>0$ при $-1<x<4$ , $f'(-1)=0$ .

Решение

Используем связь знака производной с монотонностью: если на промежутке, функция на нём возрастает; если — убывает. Если и знак производной меняется, то — точка экстремума, и в ней касательная к графику горизонтальна. Значения, которых нет в условии (в точке экстремума), выбираем сами так, чтобы они согласовывались с остальными данными.

Отмечаем концы графика: и .
На функция возрастает (так как на ), на убывает (). Знак производной в точке меняется с «+» на «−» и , поэтому — точка максимума, в ней касательная горизонтальна. Возьмём .
Рисуем плавную кривую: из точки вверх до вершины , затем вниз до точки .

Концы графика: и .
На функция убывает (), на возрастает (). В точке знак производной меняется с «−» на «+» и — это точка минимума с горизонтальной касательной. Так как после минимума функция возрастает до значения , значение в минимуме должно быть меньше ; возьмём .
Рисуем: из точки вниз до «дна» , затем вверх до точки .

💡 Почему так

Эскиз не единственный: важно, чтобы выполнялись заданные значения на концах, участки возрастания и убывания и горизонтальная касательная в стационарной точке.

Ответ

кривая из возрастает до максимума при и убывает до ;
кривая из убывает до минимума при и возрастает до .

Помогло?

Номер 917 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 270