Заполните таблицу и постройте график функции y=(1/4)x. Укажите область… (алгебра)

№ Показательная функция, график

Заполните таблицу и постройте график функции $y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}$ . Укажите область определения и множество значений функции.

Решение

Таблица значений:

	-	-

График проходит через точку , убывает, при приближается к оси Ox, не пересекая её.

💡 Почему так

Показательная функция определена при любых и принимает только положительные значения.

Ответ

, .

№ Возрастание и убывание показательной функции

Какой является функция возрастающей или убывающей и почему?
а) $y = 0{,}5^{x}$ ; б) $y = \left(\frac{5}{3}\right)^{x}$ ; в) $y = 3{,}5^{x}$

Решение

а) основание , — функция убывает.
б) основание — функция возрастает.
в) основание — функция возрастает.

💡 Почему так

Функция возрастает при и убывает при .

Ответ

а) убывающая; б) возрастающая; в) возрастающая.

№ Показательные уравнения

Решите уравнения:
а) $3^{x} = 27$ ; б) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 4$ ; в) $9 \cdot 3^{x} = 1$ ;
г) $4^{2x-6} = \left(\frac{1}{32}\right)^{5-3x}$ ; д) $3^{x+2} - 5 \cdot 3^{x} = 36$
е) $36^{x} - 4 \cdot 6^{x} - 12 = 0$

Решение

а) , .

б) , , .

в) , , , .

г) , .
, , .

д) , , , .

е) Пусть : , , (не подходит).
, .

💡 Почему так

Приводим обе части к одному основанию и приравниваем показатели; в д) выносим общий множитель, в е) делаем замену.

Ответ

а) ; б) -; в) -; г) ; д) ; е) .

№ Показательные неравенства

Решите неравенства:
а) $2^{x} > 8$ ; б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-6} \le 32$ ; в) $\left(\frac{1}{5}\right)^{2x^{2}-3x} \ge 5$ ;
г) $\frac{1}{36} < 6^{x+1} < 1$

Решение

а) , основание больше , .

б) , , .

в) , , .
Корни: и , парабола ветвями вверх, значит .

г) , , .

💡 Почему так

При основании больше знак неравенства сохраняется, при основании от до — меняется на противоположный (в б) и в) мы привели к основанию больше ).

Ответ

а) ; б) ; в) ; г) .

Помогло?