У эксперта есть m монет весом 5… (вероятность и статистика)

Одно взвешивание на чашечных весах

У эксперта есть $m$ монет весом 5 граммов, $n$ монет весом 6 граммов и $k$ монет весом 7 граммов. Все три числа $m, n, k$ больше 0 и не больше 10. Судья это знает, ему также известны числа $m$ , $n$ и $k$ , но он не знает, где какая монета, и видит только $m + n + k$ неразличимых монет. Например, если $m = 3$ , $n = 6$ , $k = 9$ , то судья видит 18 одинаковых монет и знает, что среди них ровно три весом 5 граммов, ровно шесть весом 6 граммов и ровно девять весом 7 граммов, но не знает, где какая монета. Эксперт смог, сделав только одно взвешивание на чашечных весах без гирь (на чашу весов помещается любое количество монет), однозначно продемонстрировать судье вес каждой из $m + n + k$ монет. При каких $m$ это возможно — т. е. для этого значения $m$ существуют соответствующие условию $n$ и $k$ ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Если это невозможно, в ответ запишите 0.

Решение

Судья видит, какие монеты лежат на левой чаше, на правой и вне весов, и видит результат. Взвешивание убедительно, если ровно одно распределение весов по монетам даёт такой результат.

. Каждая группа однородна. Если две монеты на одной чаше (или обе вне весов) имеют разный вес, то их обмен не меняет результат, и ответ неоднозначен. Значит, на левой чаше монет одного веса , на правой монет веса , вне весов монет веса . Весов три, поэтому различны, и в каждой группе лежат все монеты своего веса.

. Весы не в равновесии (пусть левая чаша тяжелее, ).

Если или не годится: обмен монеты слева с монетой вне весов, когда , увеличивает и сохраняет результат. Значит, . Аналогично .
Отсюда , , , то есть слева все семёрки ( штук), справа все пятёрки ( штук), вне весов шестёрки.
Обмен слева и вне весов уменьшает на , и результат должен измениться. Значит, :
При единственное решение , .
Тогда любое другое распределение даёт разность не больше , и может быть любым.

. Весы в равновесии, при .

Пара (, ): , значит , . Слева шесть пятёрок ( г), справа пять шестёрок ( г), вне весов семёрки (). Другое распределение: слева пять пятёрок и одна шестёрка ( г), справа четыре шестёрки и одна семёрка ( г). Однозначности нет.
Пара (, ): , значит , . Слева семь шестёрок ( г), справа шесть семёрок ( г). Другое распределение: слева пятёрка и шесть шестёрок ( г), справа пять семёрок и шестёрка ( г). Однозначности нет.
Пара (, ): , значит , , то есть и . Слева семь пятёрок ( г), справа пять семёрок ( г), вне весов шестёрки. Левая чаша из монет весит не меньше г, а правая из монет не больше г. Равенство возможно только при пятёрках слева и семёрках справа, поэтому распределение единственное, а любое.

Итак, подходят (при любом, ) и (при любом, ).

💡 Почему так

Любые две монеты на одной чаше (или обе вне весов) должны быть одного веса, иначе их обмен не меняет результат. Поэтому все монеты каждого веса лежат в своей группе, и остаётся проверить, нет ли другого распределения с тем же результатом.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

У эксперта есть m монет весом 5 граммов, n монет весом 6…