В круг встали 24 пятиклассника лицом к центру. Каждый из них сказал:…

Пронумеруем детей по кругу в направлении «вправо»: . У ребёнка справа стоят , а соседи — и .

Условие: «соседи одного пола» (то есть ) верно тогда и только тогда, когда и — мальчики.

. Если — девочка. Справа два мальчика подряд не стоят, значит, ребёнок солгал, и . Тогда — мальчик. Итак, для каждой девочки ребёнок через одного перед ней (на два места назад) — мальчик. Две девочки через одного стоять не могут.

. Если — мальчик. Ребёнок говорит правду тогда и только тогда, когда — мальчик. А правда означает, что — мальчик. Значит, и одного пола.

. Следствие. Пусть на месте стоит девочка. Тогда на месте — мальчик (иначе две девочки через одного). Применим п. к мальчику на месте : , значит, на месте тоже девочка. Повторяя, получаем девочек на местах Так как делится на , это ровно девочек.

Если бы была ещё одна девочка с другим остатком по модулю , то нашлись бы две девочки через одного (на местах и ), что невозможно.

Значит, девочек либо , либо .

Проверка.

• Все мальчики: у каждого справа два мальчика, и соседи одного пола — все говорят правду, условие выполнено.
• Расстановка М М Д М М Д … (период , девочек): у девочки соседи оба мальчики, она говорит «правду», и справа от неё М М — верно. Для мальчика перед девочкой: соседи М и Д — ложь, справа Д — верно, что двух мальчиков нет. Для мальчика после девочки: соседи Д и М — ложь, справа М Д — двух мальчиков нет. Для девочки: соседи М и М — правда, справа М М — есть. Условие выполнено.