Тимур отметил на прямой несколько точек. Оказалось, что все расстояния между…

Все расстояния между точками кратны , значит, координаты точек можно записать как , где — целые числа. Расстояние между двумя точками равно . Оно делится на , если делится на ( и взаимно просты). Значит, нужно не менее пяти пар точек, у которых числа дают одинаковые остатки при делении на .

Первый вопрос.
Три точки дают всего расстояния, это меньше . Значит, точек не меньше .
Четыре точки дают расстояний. Возьмём точки с    , то есть с координатами , , , . Все расстояния между ними кратны , то есть кратны и , и . Таких расстояний , а это не меньше . Наименьшее количество точек — .

Второй вопрос.
Пусть лежат на отрезке длины . Если , то ни одно расстояние не делится на .
Если , то разность, кратная , может быть только равна . Пары вида   существуют при , их штук.
Нужно , значит, .
При получается только пары, этого мало.
При возьмём точки . Пары      дают расстояний, кратных .
Наименьшее расстояние между самыми далёкими точками равно .