Антон отметил на прямой несколько точек. Оказалось, что все расстояния между…

Подготовка. Все расстояния кратны , поэтому координаты точек можно выбрать так, чтобы они были числами с целыми . Расстояние между точками равно . Оно делится на тогда и только тогда, когда разность делится на .

Первый вопрос.

Три точки дают всего расстояния, а нужно не менее пяти. Значит, точек не меньше четырёх.

Четыре точки подходят. Возьмём    . Все расстояний между ними кратны , то есть кратны и , и . Условие выполнено, шести расстояний достаточно.

Второй вопрос. Нужно найти наименьшую разность между крайними числами .

Расстояние делится на , если разность равна , , , …

Пусть все числа лежат на отрезке длиной , то есть между и .

Если , то подходит только разность . Пар чисел, отличающихся на , среди чисел не больше, чем :

Нужно не менее пяти таких пар, поэтому , то есть .

Пример для : числа . Пары с разностью :

Это ровно пять пар. Значит, наименьший размах равен , а расстояние между самыми далёкими точками равно

Для точек: .