№ Подсчёт отрезков, пересекающих прямую
⚠️
Не решены задания и . В задании нет рисунка с отмеченными частями плоскости, а ответ зависит от их расположения. Задание обрезано, условие видно только до слов «На плоскости отметили точек». Пришлите фото крупнее: рисунок к задаче и целиком задачу , по – задания на фото.
С двух сторон от прямой отметили одинаковое число точек и каждую соединили отрезками со всеми другими. Оказалось, что 25 из проведённых отрезков пересекли прямую. Сколько отрезков её не пересекает?
Решение
Пусть с каждой стороны отметили по точек.
Отрезок пересекает прямую, только если его концы лежат по разные стороны от неё. Каждая из точек одной стороны соединена с каждой из точек другой, поэтому таких отрезков .
Всего точек . Число всех отрезков:
Не пересекают прямую:
Проверка: с каждой стороны отрезков, вместе .
💡 Почему так
Отрезок пересекает прямую, если его концы лежат по разные стороны от неё. Число отрезков между точками равно .
№ Можно ли пересечь прямой все отрезки
Можно ли отметить 13 точек, соединить их тридцатью отрезками и провести прямую, которая пересечёт все эти отрезки и не пройдёт через отмеченные точки?
Решение
Прямая пересекает отрезок, если его концы лежат по разные стороны от неё. Значит, все отрезков должны соединять точки разных сторон.
Отметим точки по одну сторону от прямой и точек по другую (всего ). Соединим каждую из точек с каждой из :
Получили ровно отрезков, и каждый пересекает прямую. Прямая не проходит через отмеченные точки.
💡 Почему так
Между точками одной стороны и точками другой можно провести отрезков, пересекающих прямую. Здесь .
Ответ
Да, можно: точки по одну сторону прямой, по другую, и каждая из соединена с каждой из .
