Теорема. Если стороны двух углов соответственно… (геометрия)

Теорема об углах с соответственно сонаправленными сторонами

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны (вписано: равны).

Дано: углы $O$ и $O_{1}$ с соответственно сонаправленными сторонами.
Доказать: $∠ O = ∠ O_{1}$ .

Доказательство. На сторонах углов $O$ и $O_{1}$ отложим равные отрезки $O A$ и $O_{1} A_{1}$ , $O B$ и $O_{1} B_{1}$ . Четырёхугольник $O O_{1} A_{1} A$ — параллелограмм, так как ______, поэтому $A A_{1} ∥ O O_{1}$ и $A A_{1} =$ ______. Четырёхугольник $O B B_{1} O_{1}$ — ______, так как ______, поэтому $B B_{1} ∥ O O_{1}$ и $B B_{1} =$ ______.

Итак, $A A_{1} ∥ O O_{1}$ и $B B_{1} ∥ O O_{1}$ , следовательно, по теореме ______ $A A_{1} ∥$ ______. Кроме того, $A A_{1} = B B_{1}$ , так как ______, поэтому четырёхугольник $A B B_{1} A_{1}$ — ______, и значит, $A B =$ ______. Таким образом, $△ A O B =$ ______ по ______, поэтому $∠ O = ∠ O_{1}$ .

Теорема доказана.

Решение

Заполняем пропуски по порядку.

— параллелограмм, так как (лучи сонаправлены, лежат на параллельных прямых) и (по построению). Поэтому и .
— параллелограмм, так как и . Поэтому и .
Прямые и параллельны одной прямой , поэтому по теореме о двух прямых, параллельных третьей, .
и , значит . Тогда — параллелограмм (две противоположные стороны равны и параллельны), и .
по трём сторонам: , , . Поэтому .

💡 Почему так

Параллелограмм получается, если две противоположные стороны равны и параллельны. Равные треугольники по трём сторонам (третий признак) имеют равные соответственные углы.

Ответ

и (по построению); .
— параллелограмм, так как и ; .
по теореме о двух прямых, параллельных третьей: .
, так как оба отрезка равны ; — параллелограмм; .
по трём сторонам (III признак).

Помогло?

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы…