Решить уравнение: 1) √x+1=3; 2) √x-2=5; 3)… (алгебра)

№

Простейшие иррациональные уравнения

Решить уравнение:

$x + 1 = 3$ ;
$x - 2 = 5$ ;
$4 + x = 2 x - 1$ .

Решение

Возведём обе части в квадрат:

Проверка: .

Возведём обе части в квадрат:

Проверка: .

Приравняем подкоренные выражения:

Проверка: .

💡 Почему так

Обе части уравнения возводят в квадрат, а затем проверяют корень подстановкой.

Ответ

✓ dzmen.ru

;
;
.

№

Уравнения с кубическими корнями

Решить уравнение:

$3 2 x + 3 = 1$ ;
$3 1 - x = 2$ ;
$3 3 x^{2} - 3 = 3 8 x$ .

Решение

Возведём обе части в куб:
Возведём обе части в куб:
Приравняем подкоренные выражения:

💡 Почему так

Кубический корень определён при любом подкоренном выражении, поэтому проверка не нужна.

Ответ

✓ dzmen.ru

;
;
и .

№

Иррациональные уравнения с проверкой корней

Решить уравнение:

$x + 1 = 1 - x$ ;
$x = 1 + x + 11$ ;
$x + 3 = 5 - x$ ;
$x^{2} - x - 3 = 3$ .

Решение

Левая часть равна корню, значит . Возведём в квадрат:

Корень не подходит, так как . Проверка : .

Перепишем: , значит . Возведём в квадрат:

Корень не подходит, так как . Проверка : .

Приравняем подкоренные выражения:

Проверка: .

Возведём в квадрат:

Проверка: при получаем , при получаем . Оба корня подходят.

💡 Почему так

Арифметический корень неотрицателен, поэтому после возведения в квадрат посторонние корни отсеивают условием на знак другой части или проверкой.

Ответ

✓ dzmen.ru

;
;
;
и .

№

Иррациональные уравнения

Решить уравнение:

$x - x = - 12$ ;
$x + x = 2 (x - 1)$ ;
$x - 1 = x - 3$ ;
$6 + x - x^{2} = 1 - x$ .

Решение

Пусть . Тогда

Значение не подходит. Из получаем .

Перепишем: , значит . Возведём в квадрат:

Условию удовлетворяет только . Проверка: .

Должно быть , то есть . Возведём в квадрат:

Условию удовлетворяет только . Проверка: .

Должно быть , то есть . Возведём в квадрат:

Условию удовлетворяет только . Проверка: .

💡 Почему так

Для уравнения нужно . Замена сводит уравнение к квадратному.

Ответ

✓ dzmen.ru

;
;
;
.

№

Уравнения с двумя корнями

Решить уравнение:

$2 x - 34 = 1 + x$ ;
$5 x + 14 - x = 8$ ;
$15 + x + 3 + x = 6$ ;
$3 - 2 x - 1 - x = 1$ .

Решение

Возведём в квадрат:

Здесь . Пусть . Тогда

Подходит , откуда . Проверка: .

Возведём в квадрат:

Здесь . Возведём ещё раз:

Корень не подходит. Проверка : .

Пусть , . Тогда

Отсюда

Значит, , то есть . Проверка: .

Перепишем: . Возведём в квадрат:

Пусть . Тогда

Отсюда или .
Проверка: при получаем , при получаем . Оба корня подходят.

💡 Почему так

Уединяем корень, возводим в квадрат, при необходимости повторяем. Проверка обязательна.

Ответ

✓ dzmen.ru

;
;
;
и .

№

Иррациональные уравнения, особые случаи

Решить уравнение:

$x^{2} + 2 + x^{3} + x^{2} = 0$ ;
$3 1 + x^{4} = 3 1 + x^{2}$ .

Решение

Каждый арифметический корень неотрицателен, поэтому сумма равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю. Но , поэтому и равенство невозможно.
Приравняем подкоренные выражения:

💡 Почему так

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю.

Ответ

✓ dzmen.ru

корней нет;
.

Помогло?

Решить уравнение: 1) √x+1=3; 2) √x-2=5; 3) √4+x=√2x-1.