Вычислите (321/4 : 35/4)1/2. 1) 2 2) 4 3) 8 4) 9 (алгебра)

№ Вычисление степени с дробным показателем

Вычислите $(3^{\frac{21}{4}} : 3^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{2}}$ .

2 2) 4 3) 8 4) 9

Решение

💡 Почему так

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Ответ

№ Произведение корней

Вычислите $3250 \cdot 34$ .

5 2) 10 3) 25 4) 50

Решение

💡 Почему так

Корни одной степени перемножаются: .

Ответ

№ Вынесение множителя из-под знака корня

Вынесите множитель из-под знака корня:
а) $4 81 x^{5} y^{9}$
б) $4 32 x^{5} y^{10}$

Решение

а) Подкоренное выражение неотрицательно, значит .

б) Здесь

, откуда

, поэтому

💡 Почему так

Из-под корня четвёртой степени выносятся четвёртые степени множителей, при этом .

Ответ

а)
б)

№ Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\frac{12 a \cdot 24 a}{a 8 a}$ при $a = 0, 25$ .

Решение

Числитель:

Знаменатель:

Дробь:

При

💡 Почему так

Корни заменяем степенями с дробными показателями и применяем свойства степеней.

Ответ

№ Иррациональное уравнение

Решите уравнение $3 x + 4 = x$ .

−4; 1 2) 1 3) −1; 4 4) 4

Решение

Корень неотрицателен, значит . Возводим в квадрат:

Условию

удовлетворяет только

. Проверка:

💡 Почему так

При возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому нужно учитывать условие .

Ответ

№ Дробно-рациональное неравенство

Решите неравенство $\frac{x ^{2} - 25}{x + 3} \leq 0$ .

$(- \infty; - 5) \cup (- 3; 5)$ 2) $(- 5; - 3) \cup (5; + \infty)$
$(- \infty; - 5] \cup (- 3; 5]$ 4) $[- 5; - 3) \cup [5; + \infty)$

Решение

Разложим числитель:

Нули числителя:

(закрашены, неравенство нестрогое). Нуль знаменателя:

(выколот).

Знаки на промежутках: при — «+», на — «−», на — «+», при — «−».
Нужны промежутки со знаком «−» и нули числителя:

💡 Почему так

Метод интервалов: знаки чередуются при переходе через каждый корень кратности .

Ответ

№ Иррациональное уравнение

Решите уравнение: $x + 1 = 8 - 4 x$

Решение

Правая часть неотрицательна, значит , то есть . Возводим в квадрат:

Условию

удовлетворяет

. Проверка:

💡 Почему так

Корень посторонний, так как при нём левая часть отрицательна.

Ответ

№ Дробно-рациональное неравенство

Решить неравенство: $x > \frac{1}{x - 1}$

Решение

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю:

Корни числителя:

. Нуль знаменателя:

Знаки: при — «+», на — «−», на — «+», левее — «−».
Нужны промежутки со знаком «+».

💡 Почему так

Нельзя умножать обе части на , не зная его знака, поэтому используем метод интервалов.

Ответ

№ Иррациональное неравенство

Решить иррациональное неравенство: $x + 3 > x + 1$

Решение

ОДЗ: .
Случай : , то есть . Левая часть неотрицательна, правая отрицательна, неравенство верно для всех таких .
Случай : , то есть . Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

С учётом

получаем

.
Объединяем:

💡 Почему так

Неравенство равносильно совокупности: или .

Ответ

№

Система нелинейных уравнений

Решить систему уравнений:

{y^{2} - x y + 1 = 0, x^{2} + 2 x = - y^{2} - 2 y - 1.

Решение

Из первого уравнения и .
Второе уравнение: . Подставляем и умножаем на :

Раскладываем на множители:

Так как

, получаем

.
Тогда

Проверка:

;

, то есть

💡 Почему так

Из первого уравнения выражаем через и подставляем во второе; уравнение с одной переменной раскладываем на множители.

Ответ

Помогло?