Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры… (алгебра)

№ Цифры и числа, делимость

Пусть $a, b, c, d$ — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел $ab$ , $b c$ , $c d$ , $d a$ — трёхзначное число $N$ , начинающееся с цифр 27. Какое наибольшее число $N$ может удовлетворять условию задачи?

Решение

Запишем сумму через цифры:

Значит, делится на . Среди чисел от до на делится только , потому что , а и .
Тогда . Это возможно, например, при цифрах , , , : .
Проверка: .
Других подходящих нет, поэтому оно и наибольшее.

💡 Почему так

Сумма равна , поэтому кратно .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Теорема Виета

Ненулевые числа $a, b, c, d, p, q, r, t$ таковы, что каждое из квадратных уравнений $a x^{2} - p x + c = 0$ , $b x^{2} - q x + d = 0$ , $c x^{2} - r x + a = 0$ , $d x^{2} - t x + b = 0$ имеет по два положительных корня, образующих множество $K$ из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества $K$ равно 6, а сумма двух наименьших чисел множества $K$ равна $\frac{31}{30}$ . Найдите наименьший из этих восьми корней.

Решение

По теореме Виета произведения корней уравнений равны , , , .
Произведение всех восьми корней:

Произведение шести наибольших равно , значит, произведение двух наименьших равно .
Сумма двух наименьших равна , поэтому они — корни уравнения

Наименьший корень равен .

💡 Почему так

Произведение корней всех четырёх уравнений равно , так как дроби сокращаются.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Тетраэдр, средние линии

Дана треугольная пирамида $A B C D$ . Середину ребра $A B$ соединили с серединами всех других рёбер, кроме $C D$ , и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 16. Найдите квадрат длины ребра $C D$ , если известно, что произведение площадей треугольников $C A D$ и $C B D$ равно 64, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без $A B$ и $C D$ равна 136.

Решение

Пусть — середина . Отрезки от к серединам рёбер — средние линии треугольников и . Их длины равны , , , .
Тогда

Площади треугольников:

Перемножим:

По условию произведение площадей равно , значит, в обоих неравенствах равенство. Поэтому .
Тогда по теореме Пифагора

Сумма , поэтому

💡 Почему так

Произведение площадей не больше произведения четырёх рёбер. Равенство достигается только при прямых углах и .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Качение правильного шестиугольника

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной $a$ прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами $35 a$ и $12 a$ (полностью), вернувшись в исходную позицию. Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что $a = \frac{1}{π}$ ?

Решение

Гипотенуза равна . Периметр равен .
Центр шестиугольника отстоит от каждой вершины на . При качении вокруг вершины на центр проходит дугу радиуса с углом . На периметре укладывается стороны шестиугольника, то есть поворота по :

В каждом углу треугольника с внутренним углом колесо поворачивается вокруг вершины на (вокруг вершины свободны , из них занимает угол шестиугольника, и ещё уже учтены в качении). Сумма по трём углам:

Полный угол дуг радиуса :

Длина траектории:

💡 Почему так

Центр всё время движется по дугам окружностей радиуса , поэтому длина пути равна , умноженному на суммарный угол поворота в радианах.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма…