Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b лежит в плоскости α. Определите, могут ли прямые а и b: а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися. Ответ объясните.
Прямая a параллельна плоскости α, значит, у неё нет общих точек с α. Прямая b лежит в α, поэтому все точки b принадлежат α.
а) Могут. Если в α взять прямую b, параллельную проекции прямой a на α, то a
б) Не могут. Общая точка прямых a и b принадлежала бы b, то есть плоскости α. Тогда у a была бы общая точка с α, а это противоречит a
в) Могут. Если b в α не параллельна a, то прямые не пересекаются (пункт б) и не параллельны, значит, они скрещивающиеся.
Параллельная плоскости прямая не имеет с ней общих точек, поэтому не может пересекать ни одну прямую этой плоскости.
а) да; б) нет; в) да.
На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка A₁ так, что DA₁ = 4 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку A₁ и пересекает сторону CD в точке C₁.
а) Докажите подобие треугольников C₁DA₁ и ABC.
б) Найдите AC, если BC = 10 см, A₁C₁ = 6 см.
Условие записано с опечатками, поэтому считаем так: плоскость проходит через A₁ и пересекает CD в C₁.
а) Плоскость параллельна AC и пересекает плоскость параллелограмма по прямой A₁C₁. Значит, A₁C₁
В треугольниках C₁DA₁ и CDA угол D общий, а
Диагональ AC делит параллелограмм на равные треугольники:
б) В параллелограмме
Плоскость, параллельная прямой, пересекает любую плоскость, содержащую эту прямую, по прямой, параллельной ей.
б) AC =
Трапеция ABCD (AD и BC основания) и треугольник AED имеют общую сторону AD и лежат в разных плоскостях. Точка M лежит на стороне AE, а P на стороне DE, причём MP параллельна плоскости трапеции.
- Докажите, что MP ∥ BC.
- Каково взаимное положение прямых MP и AB? Чему равен угол между этими прямыми, если ∠ABC = 110°? Поясните.
-
MP
плоскости ABCD. Плоскость AED проходит через MP и пересекает плоскость трапеции по прямой AD. Значит, MP AD. Так как AD BC (основания трапеции), то MP BC. -
MP
BC, а AB пересекает BC. Прямая AB не параллельна MP и не пересекает её: MP не лежит в плоскости трапеции и параллельна ей. Значит, MP и AB скрещивающиеся.
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными им. Прямая BCMP, поэтому угол между MP и AB равен углу между BC и AB. Угол ABC = ° тупой, а угол между прямыми не больше °:
Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, им параллельными. Он не превосходит
- доказано;
- MP и AB скрещивающиеся, угол между ними
°.
Дан пространственный четырёхугольник ABCD, вершины которого не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины сторон пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Выполните рисунок к задаче.
Пусть K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA.
- В треугольнике ABC отрезок KL — средняя линия, поэтому
и . - В треугольнике ADC отрезок NM — средняя линия, поэтому
и . - Тогда
(обе параллельны AC) и . - Две противоположные стороны KL и NM параллельны и равны. Параллельные прямые лежат в одной плоскости, значит, KLMN — плоский четырёхугольник, и он параллелограмм.
Аналогично
Признак параллелограмма: если две противоположные стороны четырёхугольника параллельны и равны, то он параллелограмм.
KLMN — параллелограмм, что и требовалось доказать.
Дан треугольник ABC, M принадлежит AB, K принадлежит BC, BM : MA = 3 : 4. Через прямую MK проходит плоскость α, параллельная прямой AC.
а) Докажите, что BC : BK = 7 : 3.
б) Найдите длину MK, если AC = 14 см.
В условии точка названа N, но из отношения BM : MA ясно, что точка M лежит на AB; считаем так.
а) Плоскость α проходит через MK и параллельна AC. Она пересекает плоскость ABC по прямой MK, поэтому MK
Тогда
Так как BM : MA =
то есть
б) Коэффициент подобия
Если плоскость параллельна прямой AC и проходит через MK, то MK
а) доказано; б) MK =
Через точку K, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые a и b. Прямая a пересекает плоскости α и β в точках A₁ и A₂ соответственно, прямая b — в точках B₁ и B₂. Найдите B₁B₂, если A₂B₂ : A₁B₁ = 9 : 4, KB₁ = 8 см.
Прямые a и b пересекаются в K, поэтому лежат в одной плоскости. Она пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым, значит,
Тогда
Точка K лежит вне полосы между плоскостями, поэтому B₁ лежит между K и B₂:
Параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, откуда следует подобие треугольников.
B₁B₂ =
