Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных… (геометрия)

№ Параллельность плоскостей, параллелограмм

Параллелограммы $A B C D$ и $A D F E$ лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону $A D$ . Прямая $m$ , параллельная $B C$ , пересекает плоскости $A B E$ и $D C F$ соответственно в точках $H$ и $P$ . Докажите, что $H P F E$ — параллелограмм.

Решение

(как стороны параллелограмма ) и (как стороны параллелограмма ). Значит, . Так как , то .
Плоскости и параллельны: и — две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости.
Параллельные прямые и задают плоскость . Она пересекает параллельные плоскости и по прямым и (точки лежат в , точки — в ). Следовательно, .
В четырёхугольнике (он лежит в плоскости ): (так как лежит на ) и . Противоположные стороны попарно параллельны, значит, — параллелограмм.

💡 Почему так

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые пересечения параллельны.

Ответ

Доказано: и , поэтому — параллелограмм.

№ Построение точки пересечения прямой с параллельной плоскостью

Плоскости $α$ и $β$ параллельны, $a ∥ a_{1}$ (рис. 74). Прямая $a$ пересекает плоскости $α$ и $β$ соответственно в точках $A$ и $B$ , а прямая $a_{1}$ пересекает плоскость $α$ в точке $A_{1}$ . Постройте точку пересечения $a_{1}$ с плоскостью $β$ . Поясните.

Решение

Построение:

Параллельные прямые и задают плоскость .
Плоскость пересекает по прямой и пересекает по прямой, проходящей через .
Так как , линии пересечения с третьей плоскостью параллельны: через в плоскости проводим прямую .
Точка — искомая точка пересечения с .

Пояснение: и , поэтому . В плоскости получился параллелограмм : и .

💡 Почему так

Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Ответ

Искомая точка — пересечение прямой с прямой, проведённой через параллельно в плоскости прямых и .

№ Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной грани

В тетраэдре $D A B C$ $∠ D B A = ∠ D B C = 9 0^{\circ}$ , $D B = 6$ , $A B = B C = 8$ , $A C = 12$ . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину $D B$ и параллельной плоскости $A D C$ . Найдите площадь сечения.

Решение

Построение. Пусть — середина .

В грани проводим , . Тогда — середина .
В грани проводим , . Тогда — середина .
Соединяем и . Сечение — треугольник , его стороны параллельны сторонам , и , поэтому плоскость .

Площадь. и , поэтому в прямоугольных треугольниках и :

Треугольник

равнобедренный:

. Высота к

— средние линии треугольников

, поэтому треугольник

подобен

с коэффициентом

💡 Почему так

Плоскость, параллельная грани, пересекает другие грани по прямым, параллельным сторонам этой грани; площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

Ответ

Сечение — треугольник (, , — середины , , ); .

№ Сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $E$ и $F$ параллельно прямой $a$ (рис. 75).

Решение

Точка лежит на ребре , точка — на ребре , прямая лежит в плоскости основания .

Плоскость сечения параллельна , поэтому её след на плоскости основания параллелен .

В плоскости основания через проводим , . Это сторона сечения в основании.
и лежат в грани : соединяем .
Продолжаем до пересечения с прямой в точке . Прямая лежит в плоскости и пересекает ребро в точке . Отрезок — сторона сечения.
Плоскости оснований параллельны, поэтому в верхнем основании через проводим , .
Продолжаем до пересечения с прямой в точке . Прямая лежит в плоскости и пересекает ребро в точке . Отрезок — сторона сечения.
и лежат в грани : соединяем .

Сечение — многоугольник .

💡 Почему так

Если плоскость параллельна прямой , лежащей в плоскости основания, то её след на основании параллелен . Сечение параллельными плоскостями оснований даёт параллельные отрезки.

Ответ

Сечение — многоугольник , где , , , , , .

Помогло?

Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону…